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resta da far vedere la convergenza uniforme della serie delle f n (x) nell'in- 

 tervallo (0 , b) . 



Siano K , H ed l tre costanti positive tali che sia 



|N(*,a)|<K , |P(*,*)|<H , \f(x)\<l, 

 e formiamo la seguente equazione ausiliaria: 



(2) v(x) = X ^jv(ax) + K £ v(s) ds + H v(s) ds~\ + l 



dove X è un parametro che faremo variare e q è il numero avanti intro- 

 dotto. 



Per |A[<^- troviamo coi soliti metodi la seguente soluzione 



= 5- (K + H«)(K + H«»)... (K -f- Ha") X» 

 K éò (l — XQ)(l—XQa)...(l—XQa n ) ni 



dove x può variare tra ed co — e potrebbe anzi prendere qualunque va- 

 lore reale o complesso — . 



Ora il secondo membro si può sviluppare in serie di potenze di X al- 

 l'interno del cerchio (entro cui cade il punto A = cioè si ha 



(3) v(x) = l (XCr) + Xv l (x) + X*v t {x) + - ] ; 

 tenendo conto dell'equazione (2) a cui soddisfa r(x) si trova 



v {x) = 1 



J"x fax 

 Vn-^sjds + H | (n = 1 , 2 , .. ). 







Le v n (#) sono quindi polinomi in a; a coofficienti positivi, e perciò la 



00 



serie y v n (x) — che è quulla che figura al secondo membro della (3) per 



X=l — converge uniformemente in qualunque intervallo finito. D'altra 

 parte, si verifica per ricorrenza che è \f n (x)\<.lv„(x) nell'intervallo (0 , b) , 

 e quindi resta ivi dimostrata la convergenza uniforme della serie delle f n (x) . 



Abbiamo così trovata una soluzione della (1) in (0,a): essa è V unica 

 soluzione finita. Infatti, se vi sono due di tali soluzioni la loro differenza 

 sarà una funzione u(x) finita in (0 , a) e soddisfacente alla (1) con f(x) = 0. 

 Ma allora, ponendo 



u (x) — u(x) 



J^x Caoc 

 N(a? , s) w n _i(s) ds -f P(x , s) m„_i(s) ds 



(n = l,2,...) 



