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•si avrà sempre, in base alla (1) stessa, u„(x) — u(x) . Ma se è \u(x)\<^k 

 -sarà in (0 , b) \ a„{x)\ <C kv n (x) cioè \u(x)\ <[ kv n (x) , e siccome v n (x) tende a 

 zero al tendere di n ad oo si conclude che u(x) è nulla in (0 , b) , e perciò 



anche in in ^0 > e così via, e finalmente in (0,a). 



2. Introduciamo ora nella (1) un parametro X e consideriamo l'equa- 

 zione 



(4) 



( (x) = X ^g(x) u(ax) 4- J* N(.r , s) u(s) ds 4- 



+jj a> ?( x , s )u(s)ds~^ + f{x), 



Toglieremo l'ipotesi che sia j g(0) i <1 ma aggiungeremo l'altra che f(x) 

 <e g(x) ammettano derivate di qualunque ordine rispetto ad x e che N(a; , s) 

 e P(.r , s) ammettano derivate parziali di qualunque ordine rispetto ad x e 

 ad s, continue nei triangoli dove le funzioni sono definite. 



Studieremo le soluzioni della (4) che ammettono derivate di qualunque 

 ordine in (0 , a) . 



Supporremo g(0) =J= 0. Diremo in seguito brevemente del caso </( 0) = . 

 che è molto più semplice dell'altro. 



Fissiamo un numero positivo X' <~ — — . e si determini b <. a in modo 



1 0(0)1 



«che in (0 , b) sia \g(x)\<^-j, , si faccia variare X nel cerchio |X|<.A' e si 



A 



oo 



definiscano in (0,a) le fjx) come al n. 1. La serie y_X n f n (x) è l'unica 



soluzione della (4) in (0,/')- Se ora nella (4) si fa variare x in ^0,^ 



-ed al posto di u(ax) ed u(s) del secondo integrale si mettono le loro espres- 

 sioni dedotte dalla serie soprascritta, vediamo che questa serie rappre- 

 senta la soluzione della (4) anche in ^0 , -\ , perchè in questo intervallo 



^ jjK*) u{ux) + j~ P(# , s) u(s) ds^ 4- f (x) è una funzione nota che si svi- 

 luppa in serie di potenze di X , e perciò la u(x) , che in ^0 , ^ si ottiene 



risolvendo l'equazione di Volterra di seconda specie a cui si riduce la (4), 

 si sviluppa pure in serie di potenze di X . Questa serie non può essere altro 



ne 



che quella già ottenuta, cioè ^_X n f n (x), come si vede subito eguagliando 

 i coefficienti delle stesse potenze di X nei due membri della (4). 



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