Dimostrato che la serie in discorso è soluzione della (4) in si 

 dimostra che lo è anche in ^0, — J e così via, e finalmente in (0 , a), purché 



Quando si fissa per X un valore soddisfacente a questa limitazione, la 



00 



serie y_X n f n {x) converge uniformemente rispetto ad x in (0,a). Infatti, 



ciò che abbiamo detto finora sussiste nella sola ipotesi che le funzioni note 

 della (4) siano continue nei domini dove sono definite — anche se non sono 

 derivabili — sussiste perciò anche per l'equazione 



v(x) tm X |j g(x) | v(ax) + £ | N(s , s) | v(s) ds + J^* | P(s , s) | v(s) ds~J + 1 f (x) f. 



1 00 

 Quando | 2|< 777^7 si ha la soluzione v(x) = ^_ X n v n (x), che è l'analoga 



della serie che abbiamo formata per la (4) ; ora le v n (x) sono tutte positive e 



siccome quando si fissa X , v(x) è funzione continua di x, la serie y X n v„(x) 



converge uaiformemente in (0 , a) , lo stesso si potrà dunque dire della serie 



y X n f n (x), perchè \ f„{x)\< v n {x). 



3. Passeremo ora a studiare la soluzione della (4) per valori di X il 



cui modulo non è minore di , 7—- . Si vedrà nella trattazione che faremo 



10(0)1 



che la soluzione u(x) che abbiamo trovata, valida per i valori di X di mo- 

 dulo minore di , ^ , è derivabile in (0,a). 



Ammesso che la (4) ammetta una soluzione u(x) derivabile in (0 , a) 

 si avrà per derivazione 



u'(x) = X ^ag(x) u'(ax) -j- J Ni(x , s) u'(s) ds -\- 



+ J o V^x , s) u'(s) ds + u(0) qi (x) I + f (*) , 



dove poniamo 



N 1 (* I «) = N(i,x) + r 



P t (z , s) = ^) + «P(.r , «x) + j* dt , 



?1 (x) = N 1 (x,0) + P 1 (./;,0). 



