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Il valore u(0) si ricava dalla (4) ed è 



Per il risultato ottenuto al n. precedente possiamo dire che la (5) ammette 

 una ed una sola soluzione per ogni valore di X 4= e <*i modulo mi- 

 nore di , . La soluzione è la seguente 



«1 0(0)1 



u'(x) = u ltl (x) + - j^Q^ »l,*(») , 



dove Ui,x(z) ed m 1)2 (ìc) sono le soluzioni delle due equazioni 



u ui (/) = X ^a(j{x) Ui,i(ax) -f Ni(./' , s) ui,i (s) + 



+ J^* Pi(a; , s) « M (s) <fe~] + l ut (x) (i = 1,2) 



con li,i(x) = f'(x) e ?i, 2 (a;) = <h{x) . Le w^a;) si sviluppano in serie di po- 

 tenze di X all'interno del cerchio con centro nell'origine e raggio rTTrrr , 



«|?(0)| 



e quando si fissa X tali serie convergono uniformemente rispetto ad x nell'in- 

 tervallo (0 , a). Avremo dunque che all'interno del cerchio |A| 



«10(0)1 



per X =fc -7T7 la (4) ammette l'unica soluzione derivabile 

 0(0) 



(6) 



e questa soluzione quando | X |< \g(Q)\ comc ^ e con q iie ^ a già trovata, perchè 



si è visto che se \X 1 <T , \ , la soluzione della (4) è unica sotto la sola 



|0(O)| 



condizione che sia finita. Per A = A = — - la (4) ammette soluzione finita 



0(0) 



quando e solo quando è f(0) = 0. La necessità di questa condizione discende 

 immediatamente dalla (4) e la sufficienza dalla (6). 

 Se f(0) = e X — X una soluzione della (4) sarà 



u(x) = ! u ltl (x)/ 9 dx 



