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Nelle applicazioni è utile conoscere, in funzione di a, di A e di n, 

 un numero positivo M che non sia superato, in tutto Q , dal valore assoluto 

 del nucleo limitato K„. Determinato riescirebbe l'estremo superiore di |K n |, 

 ma ci si può accontentare di avere dei numeri M che, per quanto maggiori 

 di tale estremo, siano di facile calcolo. In questa Nota do appunto, in fun- 

 zione di a, di A e di n, di questi numeri M. 



1. Per la funzione L(cc , //), pur essa definitiva nel quadrato Q, sia 

 sempre ivi 



\L(x ,y)\\x — yf <. B , 

 essendo B un numero positivo e un numero minore dell'unità. Si ponga 



F(# , y) =J a Kfa? • *) L(s , y)d$ , 



orbene, è facile dimostrare che: 

 se a -j- /? < 1 , è ovunque 



4AB 



F(x , y)|< 



1 _a — /? ' 

 se a -j- (ì > 1 , è ovunque 



se a -(-/?= I , è ovunque 



|F(a;,^!||a; — //| s <4Ab( 1 + ? + -), 



\ s 1 — a — e a J 



dove e è un qualunque numero positivo minore di 1 — a. Conviene pren- 

 dere per s il valore (1 — m)/2 che minimizza il quarto fattore del secondo 

 membro dell'ultima diseguaglianza scritta, e si ha allora : 



se a -j- /? = 1 , è ovunque 



|F(x,7/)|~2~<4AB ' 



a(l — a) 



2. La ripetuta applicazione, ai successivi nuclei iterati, delle disegua- 

 glianze trovate, fatta però talvolta con qualche accorgimento per semplificare 

 il risultato finale, dà quanto segue. 



Se fi è un qualunque numero positivo, ed è sempre in Q: 



\K(x .//)]<. A 1 log \x — y\ |(*, 



si trova 



w = 1 , M = 4A 2 - ' . 



