In questa Nota mi propongo di esporre alcune ricerche intorno al modo 

 di costruire un sistema complementare. 



1. Ricordiamo che dicesi equazione di chiusura di un sistema di fun- 

 zioni ortogonali e normali 



(1) V*(x) (# = 0,1,2, ...) 

 l'equazione 



(2) lim r\~f(x) — X ft A*V ft (#)T^ = . A* = C f(x)V h (x) dx , 

 la quale può anche porsi sotto una delle seguenti forme: 



J a o 



(2") f X f(x)dx = £ ft A s f V k (x)dx ( 6 ) (a^x^b). 



J a o J a 



Dalla (2") risulta immediatamente, che se più funzioni soddisfano al- 

 l'equazione di chiusura del sistema (1), altrettanto può dirsi di ogni loro 

 combinazione lineare a coefficienti costanti. 



2. Scelto comunque un sistema di funzioni 



(3) (fi(x) (« = 0,1,2,...), 

 tale che non esistano per le equazioni integrali 



(4) f 6(x)g>i{x)dz=0 (« = 0,1,2,...) 



J a 



soluzioni effettive, ossia diverse da zero in punti di (a , b) costituenti in- 

 siemi di misura non nulla ( 7 ), e posto 



(5) A%> — f \i{x) Vft(aj) dx (*, k = , 1 , 2 , ...), 



J a 



si indichi con 



(6) 4>i(x) (* = 0,1,2,...) 



( 6 ) Cfr. Severini, Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali [Rend. 

 del Circolo matematico di Palermo, tomo XXXVI (1913), § 2]. 



( 7 ) Si può in particolare assumere : 



<Pi[x) = x l (»aO,l,Ì,..]. 



r» 



Cfr. Severini, Sitile equazioni integrali I 0(x) x u dx = (n = , 1 , 2 , . .) [Rend. della 



>J a 



R. Acc. dei Lincei (Roma), voi. XXIX, serie 5 a (1920)]. 



