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la funzione, alla quale converge in media ( 8 ) la successione 



S2>(a>) = Ì s Ag> V»(a>) (« = 0,1,2, ...), 







rappresentata quasi dappertutto in {a , b), eccettuati cioè al più i punti di? 

 un insieme di misura nulla, dalla serie 



+ £, [U« (a?) - U<1. (*)] (« = 0,1,2, ...), 

 i 



ove 



U« (») = y, A«> • ^- V»(a?) rfx (*.= , 1 , 2 , ...) 



o olii J x— hi 



ed A„ indica il termine generale di una successione di numeri positivi, de- 

 crescenti, tendenti a zero ( 9 ). Questa funzione ha, rispetto al sistema dato (1),. 

 gli stessi coefficienti di Fourier della <fi(x), cioè 



(7) f 0>i(£c) V k {x)dx=Af (i,k = 0, 1 ,2,...). 



Se, come noi supponiamo, il sistema (1) non è chiuso, la differenza 



(8) ipi(x) = cpi{x) — Q t {x) 



non può, per ogni i , essere quasi dappertutto uguale a zero in {a , b) ( 10 ). 

 Siano 



(9) ^•\(») = SP«v(«) — 



quelle funzioni (8) che non risultano quasi dappertutto nulle, per le quali 

 si ha, a causa della (5) e della (7) 



(10) f .'WO») V»(ar)flte = (v y A = , 1 , 2 , ...). 



3. Nell'ipotesi che le (9) siano in numero > 1 , dimostriamo ora il' 

 seguente teorema: 



( 8 ) Cfr. Fischer, 5«r Za convergence en moyenne [Comptes rendus hebdomadaires 

 des séances de l'Académie des Sciences (Paris), T. CXLIV (1907), pp. 1022-1024]. — 

 Riesz, Ueber orthogonale Funktionen systeme [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft- 

 der Wissenschaften zu Gottingen, Mathematische-physikalische Klasse (1907), pp. 116-122]. 

 Weyl, Ueber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten 

 [Matheraatische Annalen, Bd. LXVII (1909), pp. 225-245]. — Plancherel, Contribution 

 à Vétude de la représentation d'une fondiari arbitraire par des intégrales définies- 

 [Rend. del Circolo matematico di Palermo, tomo XXX (1910), pp. 289-335]. 



( 9 ) Cfr. Severini, loc. cit. (5), § 5. 



( 10 ) Cfr. Lauricella. loc. cit. (3), § 3. — Severini, loc. cit. (6), § 9. 



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