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Pi ,p 2 , ... , p, (con p{ > ; « = 1,2, ... , s), e in ciascuno di essi si assume 

 un sistema di coordinate proiettive omogenee di punto £,„ , £n , ... , tip. {i — 

 = 1 , 2 , ... , &), la V, che sta in uno spazio S N di dimensione N = 

 (pi -f- 1) (p2 + 1) ••• (p s + 1) — 1 , è definita parametricamente ponendo 

 le singole coordinate proiettive omogenee x t ({==0,1,... N) di un punto 

 dello S N proporzionali ai vari prodotti che si possono formare assumendo 

 come fattori s fra le £, coi primi indici tutti diversi fra loro. 



Data una tale varietà, ci proponiamo di costruire una base per il mo- 

 dulo delle forme dello S N che la contengono, vale a dire un sistema di 

 forme <P t ,<P 2 , — - ®g . tale che ogni forma dello S N contenente la V si 

 possa esprimere come combinazione lineare delle <P (i coefficienti essendo 

 forme di grado conveniente nelle coordinate x). Ci porremo anzi da un punto 

 di vista più ampio, considerando una varietà di Segre generalizzata, V d , 

 ottenuta nel modo seguente. Mantenute le notazioni di prima, siano n x , 

 n 2 , ... , n s degli interi positivi >. 1 ; formiamo i vari prodotti di n 1 -f- n 2 + 



-) n s fra le £, in modo che, dei primi indici, ìli siano uguali a 1, 



n 2 siano uguali a 2,..., n s siano uguali a s, e definiamo in uno S„, con 



"> M*,! (*»"•)-'■ 



una V d (con d = p l -f- p 2 + •■•+ p$) ponendo le singole coordinate proiet- 

 tive omogenee x% (t = , 1 , ... , N), di un punto dello S N proporzionali a 

 quei prodotti ('). 



È chiaro che basta fare ciascuna delle n uguale all'unità per ritrovare 

 le varietà di Segre di cui si è detto in principio. Invece per s = l , Pi=p, 

 ni = n, si ottiene una rappresentabile su uno spazio S p in modo che le 

 sezioni iperpiane della Y p sono rappresentate su quello spazio lineare dalla to- 

 talità delle forme di ordine n. In quest'ultimo caso particolare, il problema 

 cui abbiamo più sopra accennato è stato risolto recentemente dallo Hurwitz ( 2 ) 

 con un procedimento che si può estendere molto facilmente al caso più ge- 

 nerale che qui abbiamo in vista ( 3 ). 



Indichiamo con 



(2) E^io i a ll > ••• i ? •••• » ^s» i •" ' ^spj] 



( 1 ) Alcune indicazioni su queste varietà si trovano, al n. 44, nell'articolo Mehrdi- 

 mensionale Ràume (del prof. Segre) della Enzyklop. der Math. Wiss. (Ili C7). 



Si tenga presente, per il seguito, che la Va non ha punti multipli; giacché dalle 

 forinole di definizione segue subito che essa è trasformata in sè dalle omografie di un 

 gruppo che opera transitivamente sui suoi punti. 



( 2 ) Ueber die algebraische Darstellung dar Normgebilde. Math. Ann., Band. 79 (1919). 

 ( 8 ) Escludiamo dal seguito il caso banale di s = l, JZi = l. 



