quella coordinata x dello S>- che, nella definizione paramedica della 

 si è posta uguale a 



(3) 



SS 5 Sl 



(essendo 



Allora, siano u e v due prodotti (3) che divengono identici fra loro, quando 

 si dividono rispettivamente l'uno per una certa £. sia e l'altro per 

 un'altra £, sia w e z due altri prodotti (3) che si comportano nello 

 stesso modo, ancora rispetto a £' e e siano infine U ,V.W,Z le coor- 

 dinate (2) corrispondenti ai prodotti u , v , io , z . Ovviamente, la forma qua- 

 dratica (nelle x) 



è nulla identicamente sulla Y d . Ebbene, si formino tutte le (4), e di esse 

 si ritenga solo un sistema di forme linearmente indipendenti, siano <P { , 

 d> 2 , ... , <P g , il quale sia una base per il sistema lineare di tutte le forme 

 quadratiche (4) (il valore di g si troverà indicato più avanti) : le <t> costi- 

 tuiscono anche una base per il modulo delle forme contenenti Va ■ 



Il concetto della dimostrazione, la quale si può svolgere, come abbiamo 

 detto, parallelamente a quella dello Hurwitz, è il seguente. Sia H un pro- 

 dotto di m fra le (2), non tutte necessariamente distinte, (m^> 1), e H la 

 espressione (nelle £), in cui esso si sviluppa quando a ogni (2) si sostituisca 



la corrispondente (3): H sarà un prodotto di m (ni -j- w 2 -j 1- n s ) fra 



le £, delle quali mn^ "avranno il primo indice 1, ecc. Anzi, dato comunque 

 un prodotto di tal fatta, esso si può considerare come ottenuto, nel modo 

 indicato da un prodotto H (o anche da vari prodotti H). Allora si stabi- 

 lisce (v. più avanti) che due di quei prodotti di graio m , siano H e H', 

 sono certo congrui rispetto al modulo (delle) <I> , qualora sia H = H' (iden- 

 ticamente rispetto alle £). Perciò, formati tutti i possibili prodotti H , se 

 si sceglie comunque, per ciascuno di essi, uno dei prodotti H che ad esso 

 corrispondono, secondo quanto sopra si è detto, ottenendo così i prodotti 

 H, , H s , ... , Hja , ogni forma di grado m nelle (2), sia F, risulta congrua, 

 rispetto al modulo <t> , a una loro combinazione a coefficienti costanti, sia 



Ci Hi -{- £ 2 H 2 -j -f-tfjj.H.j.; perciò, se F si annulla identicamente su 



sarà identicamente (rispetto alle £) ^H, -}- c 2 U 2 -j -\- £u.H ;j . = . da 



cui segue subito che le e sono nulle e perciò F = (mod <I>), c. d. d. 



In un solo punto occorre aggiungere qualche cosa alla dimostrazione 

 dello Hurwitz, e precisamente nella dimostrazione del risultato scritto in 



(4) 



uz — vw 



