— 98 — 



corsivo (che corrisponde al Teorema II dello Hurwitz). Ad esso si può giun- 

 gere colle seguenti considerazioni. Sia 



H = [« 10 «i Pl ; ; «so , «si » ••• > a »p, ] C/^io •••] .... 



.... [_^\o ì ■•• i A 1Pl ; •••• ; A, 5 ••• i ^>2>s] i 



e H' costruita in modo analogo sostituendo ad a, /?,..., A ordinatamente 

 «' , $ , ... , A' , così che sia 



«io + Pio H h ^io = «Io + #o H + *Io ) ecc. 



Si prova anzitutto che il prodotto di grado m nelle (2), sia H (1> , ottenuto 

 da H sostituendo a ciascuna delle a , § , ... , X col primo indice 1 la corri- 

 spondente a' , /?' , ... , V che compare in H', e lasciando tutto il rimanente 

 invariato, è = H (uiodd») (') (a questo scopo basta ripetere la dimostra- 

 zione del citato Teorema II dello Hurwitz, con pure varianti formali) (*). 

 Allora, analogamente, H (l) e quindi anche H, sarà congruo, rispetto al mo- 

 dulo d>, a un altro prodotto di grado m, sia H (2> , ottenuto da esso sosti- 

 tuendo a ciascuna delle a,/?,..., X col primo indice 2 la corrispondente 

 a , /?' , ... , 1' col primo indice 2 che compare in ET e lasciando tutto il 

 resto invariato. Così continuando, si arriverà a un prodotto H (S-1) = H (mod <P), 

 il quale, in virtù della prima parte della dimostrazione, sarà altresì = H' 

 (mod <D). 



Dalle considerazioni svolte emerge anche che la funzione caratteristici 

 di Hilbert del modulo definito dalla varietà di Segre generalizzata V d , di 

 cui si è detto, è 



(5) 



cosicché, in particolare, per il numero g delle forme quadratiche linearmente 

 indipendenti che costituiscono la base del modulo <P, si ha 



(6) 



, = i( N + 1 )(N + 2)-(^+^)( 2 - + ^)„..(^ + ^) 



La (5), che esprime la postulazione della Y d per le forme di ordine m, 

 permette dunque di scrivere ( 3 ) 



(') Naturalmente, un risultato analogo si otterrebbe se si mutassero analogamente 

 le a , p , ... , A con un altro primo indice. 



( 2 ) Si osservi che essa sussiste anche se n t = 1 (sebbene lo Hurwitz escluda, per 

 ovvie ragioni, questa ipotesi dalle sue considerazioni). 



( 3 ) Cfr. Severi, Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche. Rend. del 

 Oirc. Mat. di Palermo, tomo XXVIII, 1909 (ved. il n. 4). 



