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u{x) = f(0) <p Q (x) f A n ff(0) + f A» f un {x) 



n=0 ii=0 



oo 



e confrontando questo sviluppo con l'altro: u(x)= y > A" f„(x) , troviamo 



(9) fn(x) mm f{0) g^O) +fi, n {x) 



e da questa si ricava la f un (x). Le ^^(a;) si annullano tutte per x = 0. 

 La (fo(x) si può anche calcolare in un altro modo. Siccome la serie 



co i 



y_A n f Un {x) converge per A = A„ = — ; . si avrà 



e perciò dalla (9) 



lim ' = 



e da questa si trae (f^x) se /"(()) =4=0. 



Ciò potrebbe anche esprimersi in modo diverso. Le funzioni f ì (x),/ ì (x), ... 

 sono le iterate di f{x) per mezzo dell'operazione lineare S definita dalla 

 eguaglianza 



S[$p(s)] = g{x) (p(ccx) ~j- N(« , s) <p(s) ds -f- I P(x , s) <p(s) ds , 



•^0 ^ 



e si vede che il rapporto tra la iterata di ordine n di f(x) e ^"(0) se 

 f(0) =4= ha per limite una funzione fondamentale relativa all'operazione S, 



corrispondente olla costante caratteristica ~— ', ossia ha per limite una 



0(0) 



funzione y>(x) soddisfacente all'equazione funzionale 



j^S [»(*)] -»(*). 



Si ha y(0) = /'(O). 



S'è invece f(0) = ^a/e limite è zero. 



5. Finora abbiamo trovato che la soluzione u(x) della (4) derivabile 



in (0 , a) è funzione analitica di A all'interno del cerchio \A\ <. , — , 



«1^(0)1 



dotata di un solo punto singolare, e precisamente di un polo nel punto 



A = col residuo — ~t 9 ( X ) . 

 9(0) g(0) * 



La soluzione u(x) trovata ammette derivata seconda — perchè u'(x) è 

 derivabile — e si ha 



