Si avrà allora una soluzione prendendo 



u(x) =J*% — ^u^mv & + 



(a — 1) 0(0) J a — 1 



dove con la notazione | ( messa dopo una funzione dipendente da A, inten- 

 diamo che in essa si deve porre A = A 2 . 



La più generale soluzione si avrà dalla particolare ora trovata aggiun- 

 gendo cg>i(x), con c costante arbitraria e 



5Pi(ac) = x -f- Ai f (< — £) w 2 , 3 (£) i ctè ; 



Concludiamo così che all'interno del cerchio \X\^S. ^777771 la (4) am- 



■<iPi(x) è funzione fondamentale relativa all'operazione S del n. 4, corrispon- 

 dente alla costante caratteristica A, . 



l_ 



«* 1.9(0) 



mette una ed una sola soluzione dotata di derivata seconda che si può met- 

 tere sotto la forma 



(13) ^)=1=^)^ + 



+ 



L(«- i)0(O) 



+/'(°)]rrx^^(-)+Ì^A^), 



come si deduce facilmente dalla (12). 



Da questa si deduce anche che [l — A g(Q)~\ [1 — Aa<?(0)] all'interno 

 del cerchio suddetto è una serie di potenze di A che, fissato A, converge 

 uniformemente rispetto ad x in (0 , a). Per avere la g>i(x) bisogna calcolare 

 la u tt3 (x)\i dalla (11) per'? = 3 e A = A, , e si ha così da risolvere una 



equazione del tipo (1). Avuta la (fi(x) si trovano le ft, n {%) eguagliando i 



00 



coefficienti delle stesse potenze di A nello sviluppo u{x) = Y_ A" f n (x) ed 



71=0 



in quello che si ottiene dalla (13) sviluppando in serie di potenze di A nelle 

 vicinanze del punto A = 0. Si ha così 



Mx) = f»(o) j /(O) *.(*) + {^ (g — 1)^(0) + /"(°)] a " | + 



e da questa si ricava la fì, n {x). 



Da quest'ultima eguaglianza ricaviamo anche che il limite per n = 00 

 del rapporto tra la iterata n es[m * di una funzione f(x) dotata di derivata 



seconda e che si annulla per x = 0, e la potenza ?z 98ima di ag(0) = y 



Ai 



