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è /'(O) e quindi se f'(0) 4= si ha un altro procedimento di cal- 



colo per ottenere la <fi{x). 



Siccome poi è u(0) = - — e g>i{x) si annulla per x = 0, tutte 



le fi,n(x) si annullano per x = 0. Anche le derivate prime di queste fun- 

 zioni si annullano per x = 0. Ciò si vede subito derivando la (13) rispetto 

 ad ce e facendo poi x = 0, tenendo conto che è <^(0) = 1 , 9>ó(0) = A w Ji2 (0)| tt 

 e ricavando il valore «i,g(0)|<> dalla equazione in u llt del n. 3; si trova 



così </>ó(0) = — — 7T- . Si può calcolare così il valore della derivata del 

 (1 — «) 0(0) 



secondo membro della (13) per cc = 0, l'analogo valore della derivata del 

 primo membro è stato già ricavato dalla (5), eguagliando i due valori tro- 



00 



viamo Y 1"/2,„(0) = 1 cioè f' 2 ,J0) = 0, come avevamo asserito. 



n=0 



6. Ed ora in generale possiamo dire che la (4) ammette una soluzione 

 ed una sola dotata di derivate di qualunque ordine. Tale soluzione è fun- 

 zione meromorfa di A avente come poli semplici i punti X ,X 1 ,X i , .... con 



i L_ 



Si ha precisamente 

 (U) U{X) = 1 -*V<>) »' Cf) + 1 - Lg(0) ^ iX) + ' • * 



1 



all'interno del cerchio U|<- 



^n-i(ic) ammette derivate di qualunque ordine e si annulla per z = 

 insieme con le sue prime n — 2 derivate, la derivata (n — l) ma per x = 

 prende il valore (n — 1) !, sp n -i(«) è funzione fondamentale relativa all'ope- 

 razione S del n. 4 corrispondente alla costante caratteristica A„_! . q> n -i{?) 

 si può ottenere risolvendo un'equazione del tipo (1), oppure in un altro modo 

 che discende immediatamente da quanto ora diciamo. 



Sia f(x) una funzione dotata di derivate fino all'ordine n e sia 



/(O) = , f'{0) = , .... /'<«-•> (0) = 



e denotiamo con f\(x) , / 2 (x) , .... le iterate di f{x) per mezzo dell'opera- 

 zione S del n. 4. Si ha allora 



/""-' l, (0) 9^,(3:) ==(»-!)! lim - 



[«""^(O)]" 



