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ove c e Ci indicano due costanti non entrambe nulle, soddisfa all'equa- 

 zione (2). Poiché una combinazione lineare, come la (14), soddisfacente 

 alla (2), si può sempre formare nel caso che di questa, proprietà goda la y>i(x), 

 assumendo c = , a=$=0, risulta (§ 3) dalla (12) e dalla (13) 



b 



6 x (x) (fi{x) dx = (^ = 0,1,2,3, ...) , 



contro l'ipotesi che non esistano soluzioni effettive per le (4). 



Detto ora 7, il più piccolo valore di i H , pel quale le *pi„(x) , VivC^O sono 

 quasi dappertutto in {a, b) linearmente indipendenti, ammesso che esistano 

 funzioni ortogonali a ipi {x) , od alle (1), si vede in modo analogo che 



le (9) debbono essere in numero >2, e che per qualche ù^>j\ le ipi (x), 

 ipj^x) ,xpi V (x) sono quasi dappertutto linearmente indipendenti in (a,b). 



Così continuando si viene a determinare un sistema finito o numerabile 

 di funzioni 



(15) *,(») ( v== y =; o 2 "")' 



che normalizzato dà luogo ad un sistema complementare del sistema (1).. 



Se infatti potesse esistere una soluzione effettiva 6{x) delle equazioni 

 integrali 



f b 0(x) ip iv (x) dx = , f b 0(x) Y*(x) dx = (v , k = , 1 , 2 , ...),. 

 si avrebbe 



(16) \ b 6(x)(f h {x)dx = ù (v = 0,'l,2,..,). 



J a 



Inoltre per ogni i=^j\ (v = ,1 ,2 , ...), essendo 



wì(x) — y Cj v <p h {%) -f- a <fi{x) ( ~a =4= 0) 







una combinazione lineare a coefficienti costanti di y>i(x) e di alcune delle 

 <Pjv{x) in numero finito jo,-, soddisfacente alla (2), combinazione lineare, la 

 cui esistenza è provata dalle considerazioni sopra svolte, risulterebbe ancora 



(17) f mlx)dx = (?4=y, ,r = 0, 1,2,...). 



J a 



Dalla (16) e dalla (17) si dedurrebbe infine 



[ b G(x)<pi(x) dx = (2 = 0,1,2,..,), 



J a 



ciò che è impossibile. 



