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5. Per la costruzione di un sistema complementare del sistema (1) in- 

 teressa, come ben si vede, tener conto soltanto delle funzioni (3), che non 

 soddisfano alla (2), e di cui nessuna combinazione lineare a coefficienti co- 

 stanti, non tutti nulli, può ancora soddisfare alla (2). Escludendo via via 

 dal sistema (3) le funzioni, che non godono di queste proprietà, se ne de- 

 duce il sistema 



(18) 



9iM) 



(v = , 1 , 2 , .. 



composto di tutte e sole le funzioni (3) utili alla costruzione del detto si- 

 stema complementare. 



Diremo che le (18) costituiscono un sistema fondamentale per la chiu- 

 sura del sistema (1). 



Dal concetto di sistema fondamentale per la chiusura di un sistema 

 non chiuso di funzioni ortogonali e normali scaturisce senz'altro un impor- 

 tante teorema, dovuto al prof. Cipolla ( 3 ), contenente una condizione neces- 

 saria e sufficiente, affinchè questo ammetta un sistema complementare finito, 

 composto di un determinato numero di funzioni. 



6. Resta ora ad assegnare la legge, colla quale via via si determinano 

 le funzioni del sistema fondamentale (18), di cui la prima (f,- \x) coincide, 

 come si è detto, colla prima delle funzioni (3), che non soddisfano alla (2). 



Ammesso in generale di aver determinato le prime n funzioni (18), se 

 si pone 



= | 6 SP»(a>) SP/(* ) dx — A»' Ai J) (i . j = , 1 , 2 , ...) . 

 sarà jn il più piccolo valore dell'indice U ^>jn-i i pel quale risulta 



(19) 



a jìi)i a hi)ì ••••« a k<in-i a hiU 



a )n—iJl a Jn—Xìh a jn—l>>'n—i a in— i.'v 



>0, 



( 3 ) Cfr. Cipolla, Sui sistemi di funzioni ortogonali, che ammettono un sistema com- 

 plementare finito [Rend. della R. Accad. delle scienze fisiche e matematiche di Napoli 

 (1915), § 8]. 



