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MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Caratterizzazione intrinseca di elementi li- 

 neari rispetto al parallelismo. Nota di Enrico Bompiani, presen- 

 tata dal Socio T. Levi-Civita ( x ). 



1. Il parallelismo, entro una V M , fra direzioni ( 2 ) dipende generalmente 

 dal cammino lungo il quale si esegue il trasporto: l' indipendenza da questo 

 è proprietà esclusiva degli spazi euclidei ; se la V„ contiene una congruenza 

 di curve ( oo' 1 - 1 ) a parallelismo completo (cioè indip. dal cammino) quelle 

 sono geodetiche ortogonali ad co 1 V„_, totalmente geodetiche e l'elemento 

 lineare di V n è perciò del tipo (di Levi Civita): 



n— I 



ds* = da 2 -f- dx* , [afa 2 = x a iH (j , ... , b„_i) dccidx{\ . 



— ih 



Accanto a questi due risultati, che caratterizzano tipi di elementi lineari 

 partendo dal parallelismo, se ne possono porre altri derivanti dall' imporre 

 alla V„ determinati comportamenti rispetto ad esso. 



2. Le nozioni seguenti potranno servire allo scopo: 



a) Si dirà adtostabile una V n _, (o V ft ) di V„ tale che una dire- 

 zione di V n _, trasportata per parallelismo (risp. a V„) lungo cammini di V n _! 

 si porti sempre in una direzione di V n _! (con ciò non si esige che il risul- 

 tato sia indipendente dal cammino). 



§) Un sistema di oo 1 V„_! in V„ si dirà stabile se una direzione di 

 una V„_! , trasportata lungo cammini qualsiansi in V n , dà sempre luogo ad 

 una direzione di una V„_! (quindi le V t ,_, sono necessariamente autostabili ; 

 ma non viceversa: oo 1 V n _! autostabili non formano generalmente un sistema 

 di stabilità). 



y) Se in V„ esiste una congruenza (oo n_1 ) di curve parallele per qual- 

 siasi cammino eseguito sopra oo 1 V )l _ 1 ', queste si diranno V M __, d'indiffe- 

 renza per la congruenza. 



È chiaro come si possano dare altri criteri, simili ai precedenti, per 

 la caratterizzazione invariantiva di elementi lineari rispetto al parallelismo : 

 ecco alcuni risultati. 



3. Sistema oo 1 di V„_! adtostabili. 



i 1 ) Presentata nella seduta del 17 aprile 1921. 



( 2 ) Per la definizione, e le proprietà che seguono, del parallelismo vedasi la Memoria 

 di T. Levi-Civita: Nozione di parallelismo in una varietà qualunque ecc. (Rend. Circ. 

 Matem. di Palermo, t. XLII, 1917J). 



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