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Si trova che il ds* è del tipo di Hadamard 



n—l 



ds* = 5" a ik (xi , ... , Xn-ì) dxi d;r H + a nn (x u .., x n ) dx\ 

 —ih 



quindi ; 



Se una V„ possiede oo 1 V n ._i auto-stabili queste sono totalmente geo- 

 detiche e le loro traiettorie ortogonali pongono fra esse una corrispon- 

 denza per applicabilità; il parallelismo entro una V„_, è quello subor- 

 dinato in essa dal parallelismo ambiente. 



Quindi se il risultato del trasporto per parallelismo (rispetto a V„) 

 di una direzione di V»., entro V n -i non dipende dal cammino seguito 

 le V»_, sono euclidee, e 



n—l 



ds z == / dxj -f- a nn {X\ , ... , Xn) dXn • 



4. Sistema stabile di oo 1 V n _! . 



Si trova che il ds* è del tipo di Levi-Civita: 



n—l 



ds* = y (tih{%i , ••• 5 x n -i) dxi dx k -j- dxn\ 



— ih 



se una V„ contiene un sistema stabile di oo 1 V„_i queste sono totalmente 

 geodetiche e le traiettorie ortogonali sono geodetiche. 



È questa un'altra proprietà caratteristica del ds* di Levi-Civita (oltre 

 quella di contenere una congruenza a parallelismo completo). 



Dalle proprietà del parallelismo si ricava poi che se una V n contiene k 

 congruenze (linearmente indipendenti) a parallelismo completo si ha 



ds* = do^ . -f- dx 2 n _ k+l + ... + dx\ 



ove d<T n -}i è un elemento lineare nelle sole variabili x x , ... , #„-s; una tale V„ 

 si può sempre costruire in uno spazio euclideo di dimensione 



(n — k)(n-k + l ) 



— 2 + *' 



cioè è di classe <.(« — k)(n — k — l)/2; quindi è euclidea per k=n — 1: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una Y„ sia euclidea è che 

 contenga n — 1 congruenze di curve a parallelismo cdmpleto (o n — 1 si- 

 stemi di stabilità) ( l ). 



(') Siccome l'indipendenza del parallelismo dal cammino si esprime annullando i 

 simboli di Riemann, (ik,lm) = Q, questo risultato dà una nuova via geometrica d'inte- 

 grazione di queste equazioni. 



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