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5. Congruenza [normale] di curve in V„ con V„_, ortogonali' 

 d' indifferenza. 



Si trova ancora l'elemento lineare di Hadamard (n. 3), quindi una 

 nuova proprietà caratteristica di esso. 



6. Proprietà caratteristica delle congruenze di curve che 



AMMETTONO VARIETÀ d' INDIFFERENZA. 



Occorre richiamare la definizione di asse di una faccetta a due dimen- 

 sioni in V„ ('): è tale una direzione (che in generale esiste ed è unica per n 

 dispari, e non esiste per n pari) che trasportata per parallelismo lungo un 

 circuito infinitesimo chiuso eseguito sulla faccetta ritorna al punto di par- 

 tenza su sè stessa. Allora si dimostra che affinchè oo l V n _! si possano con- 

 siderare come V„_, d' indifferenza per una congruenza di curve occorre e 

 basta che 



1°) ogni faccetta a due dimensioni di V„_, abbia un asse (in V„) ; 



2°) gli assi di tutte queste faccette per un punto coincidano ; 



3°) gli assi relativi a punti infinitamente vicini di una V„_i siano- 

 paralleli. Se ciò accade la congruenza è quella inviluppata dagli assi delle V n _, . 



In particolare per n = 3 le due prime condizioni sono sempre soddi- 

 sfatte ; posto ds 2 = «H dx* -f- 2a ìt dx\ dx 2 -f- a 2ì dx 2 2 -f- a 33 dx z '\ i para- 

 metri relativi agli assi delle faccette dx z — sono 



(le a (rs) sono i simboli di Ricci) ; quindi, tenendo conto della condizione 

 ultima si ha: 



Dato un sistema oo 1 di superficie in V 3 , per sapere se esse possano 

 considerarsi come superficie d' indifferenza per una congruenza di curve* 

 non c'è che da verificare se le espressioni % liì = a (<3) /R soddisfano alle 

 equazioni 



Dx, ' —li) 



(i simboli j . | essendo calcolati per l'ultimo ds 2 scritto) ; se ciò accade* 



la congruenza è quella degli assi (definita dai parametri jj (i) ). 



7. Congruenza di curve con superficie d'indifferenza equidi- 

 stanti SECONDO QUELLE CURVE. 



Se le curve della congruenza sono linee di equidistanza (obliqua, chè 

 altrimenti si ritorna sul ds 2 di Levi-Civita) per le superficie d'indifferenza 

 si ha che: la corrispondenza stabilita fra queste dalle linee della con- 



(*) Vedasi la mia Memoria: Studi sugli spazi curvi: del parallelismo in una va- 

 rietà qualunque, parte II (Atti R Istit. Veneto, 1921 attualmeate in corso di stampa). 



