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gruenza è un'applicabilità e il ds 2 è riducibile al tipo 



ds 2 — do 2 + 2a l3 dxi dx 3 -j- 2a ì3 dr 2 d.r 3 -f- dr 3 2 



con 



(rf<r è un elemento lineare binano). 



Di più: se nella corrispondenza nominata si corrispondono le curve 

 contenute nella V 2 e normali a quelle della congruenza, questa è normale 

 e al ds 2 si può dare la forma 



ds* = [b n {Ui , u 2 ) — 0> 2 {u 3 — Ui)~] du x 2 -\-b 22 (u x , u 2 )du 2 2 -\-<l> 2 (u 3 — u l )du 3 2 ; 



le curve della congruenza sono le u 3 {du x — du 2 = 0) e le superfìcie d' indiffe- 

 renza sono rappresentate da u 3 — u x = cost. (se <X> = cost. si ritorna sul ds 2 

 di Levi-Civita): le superficie u x — cost. contenenti le curve della congruenza 

 sono a curvatura nulla e le linee nominate sono geodetiche per esse. Inoltre : 

 la V 3 contiene altre oo 1 superficie applicabili fra loro e su quelle d'in- 

 differenza (le u 3 -f- Ui — cost.). 



8. Congruenza di curve appartenenti ad oo 1 superficie d' in- 

 differenza per esse. 



Se le superficie d' indifferenza contengono le curve della congruenza 

 queste sono geodetiche e quelle a curvatura nulla; al ds 2 può darsi la forma 



ds 2 — a u {x\ , x% , £c 8 ) dx\ — 2x 3 ' x ^ d Xi d X3 _j_ ait{%\ , x 2 ) dx\ -f- 



d X 2 



+ 2% (Xi , x 2 ) dx x dx 3 -}- dx\ 



e in particolare, se la congruenza è ortogonale 



ds 2 = a u ix x , Xì , x 3 ) dx\ -f- a 22 (xi , x 2 ) dx\ -f- dx% 



{dxx = dx 2 = 0, linee della congruenza; dx x = superficie d' indifferenza). 

 Le traiettorie ortogonali (x x ) alle superficie d" indifferenza (fra loro applica- 

 bili) non determinano un' isometria, ma un'affinità fra gl'intorni di punti 

 corrispondenti (in cui sono direzioni di uguaglianza quelle della congruenza) ; 

 se si assumono nuove linee x x che determinino l'applicabilità si hanno i tipi 



ds 2 = ffln (x x , x\ , x 3 ) dx\ + 2 | ip (x x , X») — x 3 1 dx x dx t + 



' aXt ) 



-f- 2% (Xi , x 2 ) dx x dx 3 + dx\ -+- o^f 

 a!s 2 = «! i , x 2 , x 3 ) fitaf -f- 2 t/M^i , x 2 ) dxi dx t -f- eta?i -j- da^. 



