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e similmente 



n = n P b h k . 



Poniamo inoltre 



è chiaro che le quattro coppie di numeri menarne r , n e s , r e s , 

 sono coppie di numeri primi fra loro e che il prodotto rs è il minimo co- 

 mune multiplo di a e b . 



Ora consideriamo l'operazione 



Ttj = a m ^ : 



il periodo di tc 1 sarà v x = rs , essendo i periodi r ed s di « m e /?* primi 

 fra loro. 



Questo periodo v x sarà il massimo possibile che appartenga ad un'ope- 

 razione di G, ed anzi ogni altro periodo sarà divisore di r, , come è chiaro 

 osservando che G è generato dalle operazioni permutabili a e /? , e che r, 

 è il minimo comune multiplo dei loro periodi a e b . 



Dopo ciò, definita l'operazione 



n = a r § s , 



dimostriamo che ti, e « generano tutto G . A tale scopo si osserverà che 

 entro il gruppo ciclico Gì , generato da tt, , sono contenute le a m e /S" (e 

 così in quello generato da n sono contenute a r e /? s ), come segue dall'essere 

 primi fra loro i periodi r ed s di a m e fi n . 



Ora poiché m ed r sono primi fra loro ed mr = a , a m ed a r generano 

 per moltiplicazione l'intero gruppo delle a potenze di a , e così pure /?" e 

 /? s generano l'intero gruppo delle b potenze di /? ; per conseguenza n l e n 

 dànno l'intero gruppo G generato da a e /? . 



Ora si consideri il periodo r 2 di 7r relativo al gruppo ciclico G 2 (sarà 

 r 2 = l solo nel caso che G sia ciclico, coincidendo allora con GJ : avremo 



n"* = ; 



essendo m n il periodo di n , sarà 



mn Vi . . Vi 

 = — , cioè « = V, , 



v 2 fi mn 



sicché, essendo r, multiplo di mn , (i appare multiplo di v 2 . Allora l'operazione 



—JL 



7i 2 = nn x Vì 



