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: ha il periodo assoluto v 2 uguale al perìodo relativo rispetto a Gì , ed essa, 

 insieme a n x , genera l'intero G , sicché n = v, v 2 . Siamo dunque riusciti 

 a costruire le due sostituzioni indipendenti n x e n 2 che formano la base del 

 gruppo abeliano G ; e n 2 sarà un'effettiva sostituzione qualora G non sia 

 ciclico coincidendo con Gì . 



2. Esaminata la struttura del gruppo G, veniamo alla costruzione ef- 

 fettiva delle curve n — pie K . Distingueremo due casi, secondochè G è 

 ciclico o no. 



a) Caso ciclico. — Sia X (x y) la funzione algebrica del punto 

 P di <p che vale a separare gli n punti Pi P 2 ... P„ , ad esso corrispondenti, 

 che appartengono a K : data la ciclicità del gruppo G , secondo cui si per- 

 mutano Pj P 2 ... P„ quando P si muove comunque sulla riemanniana di y> , 

 sarà X funzione razionale delle coordinate x , y del punto P e di un radicale 

 «-esimo portante sopra di esse ('); e — per una conveniente trasformazione 

 ■birazionale — potremo addirittura scrivere per K le equazioni 



n 



1) T=\/xp{a:y) , <p(xy) = 0. 



Non essendovi su cp punti di diramazione, la curva 4>{xy) = avrà 

 — ovunque incontri la (f — un contatto «-punto. Ed è chiaro che — ove 

 *p soddisfi a detta condizione — ogni curva K del tipo 1) corrisponde a 

 una <p multipla ciclica, priva di punti di diramazione e quindi di genere 

 p=l. 



b) Caso non ciclico. — Il gruppo G abeliano d'ordine n = v l r 2 

 sia generato dalle due sostituzioni base n l e n 2 di periodi v x e r 2 multiplo 

 di v 2 ). Allora la funzione X che vale a staccare gli n punti Pj P 2 ... P„ 

 sarà esprimibile razionalmente per le coordinate x , y del punto P e di due 

 radicali d'ordine i', e v 2 portanti separatamente sopra di esse ( 2 ) ; e — per 

 una conveniente trasformazione birazionale — potremo addirittura scrivere 

 per K le equazioni : 



l'i fu 



2) X = tfyti(xy) + \lq 2 {xy) . <p{xy) . 



dove la curva \p x {xy) = ha un contatto v x — punto ovunque incontri <p , e 

 la xp 2 (ccj/) = ha similmente contatti v x — punti. Ed è chiaro che ove xp 1 e tp 2 

 soddisfino alle dette condizioni, ogni funzione X del tipo 2) corrisponde a 

 una curva ellittica multipla rappresentata sulla <p contata n = v x v % volte 

 col gruppo di monodromia G. 



Vedremo poi per i due casi quando si abbiano curve K irriducibili e 

 come si caratterizzino le K birazionalmente distinte. 



(') Cfr. p. es. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni... (Pisa, 1900), 

 cap. VI, §§ 74, 75. 



(-) Cfr. p. es. Bianchi, op. cit„ cap. VI, § 76. 



