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i cui termini sono il primo termine della (1), la somma dei primi due, 

 la somma dei primi tre ecc., la somma di tutti i termini. Ad ogni ter- 

 mine della (2) che è quadrato ('), corrisponde una coppia di divisori 

 complementari disuguali di N e propriamente se è quadrato l'emmesimo 

 termine m* -j- 2mK — R , ad esempio 



(3) m 2 + 2mK — R = , 



K -f- m ir n sono due divisori complementari di N . 



Reciprocamente, ad ogni coppia di divisori di N , complementari e 

 disuguali, corrisponde nella (2) un termine che è quadrato e propria- 

 mente se i divisori sono a , b (a > b) è quadrato il termine della (2) che 



é somma di ( 2 ) termini della (1); da questo quadrato si ha 



a 



la coppia di divisori a , 1) . 



Per dimostrare la prima parte del Teorema, cioè che K -\- m =t n sono 

 due divisori complementari di N, basterà provare che il loro prodotto 

 è uguale ad N. 



Infatti : 



(K + m + n) (K + m — n) = K 2 + m* + 2mK — n 2 e per la (3) 



= K 2 + m 2 + 2wK — m 2 — 2mK + R 

 = K 2 -j- R 

 = N 



come appunto si doveva dimostrare. 



Siano ora a , b (a^> b) due divisori complementari di N e proviamo 



che il termine della (2) che è somma di termini della (1) è 



un quadrato. 



Infatti, ricordando che l' ennesimo termine della (2) è dato da 



^ _i_ ^ 2]£ 



m 2 — 2mK — R ponendo m = , si ha il termine della (2) 



(*) Si otterrà sempre almeno un quadrato, perchè tale è certamente la somma di 



/ N — 1 \ 2 



di tutti i termini, somma che è uguale ad I — - — I . 

 ^ i ^ 



( 2 ) è uguale o minore al numero dei termini della (2), perchè essendo 



u 



-, , a + b — 2K^N — 2K + 1 

 a + + 1 si ha anche: ,2 a e< * e appunto questo valore 



Ci Li 



il numero dei termini della (2). 



