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Lo spazio che cooghiDge lo S(r) osculatore ad una superfìcie in un 

 punto con lo S s (s > r) osculatore ad una curva uscente dal punto ha in 

 generale per dimensione quella dello S(r) aumentata di s-r (purché, ben 

 inteso, il numero ottenuto sia <. n) : se sulla superficie esiste una curva, 

 nei punti della quale quello spazio congiungente abbia dimensione minore, 

 chiamo la curva quasi- asintotica y r , s (i due indici r , s dànno gli ordini 

 di osculazione dei due spazi osculatori alla superficie e alla curva il cui 

 spazio congiungente ha dimensione minore di quella che si avrebbe per una 

 curva generica). 



Il teorema è il seguente : 



Se lo S(k) osculatore generico di una superficie ha dimensione rego- 



A(A + 3) , , . . , . . 



lare ■ e se la superficie possiede or quasi- asintotiche 



ù 



essa è la superficie razionale normale di S ft(S + 3) che rappresenta la 



totalità delle curve piane di ordine le. Quelle Yk-i,H+\ appartengono ad 

 S s e sono le curve razionali normali C ft della superfìcie. 



3. Dimostriamo il teor. per k = 2 . Posto x 



hh 



e Tg = t 8 (t,) 



sulle Yi-3 sono legati linearmente su di esse i punti (le cui coordinate si 

 ottengono ponendo l'indice i alle x) : 



ove 



x , a; 10 , x" 1 , x ! <> + 2x 11 t' 2 -4- x°H' 2 2 , F 3 -f- 3{x 11 -f x*H\)x 2 ' 

 F 3 = x 30 -f- 3x 2, v' 2 -f Sx l % 2 -f a; 03 *; 3 ; 



ciò può esprimersi scrivendo che sulle y lì3 



(1) 



.10 



x™-\- 2x ì, t' ì + x 0ì t' 2 ì 

 F 3 + 8(x ll +&HM 



= 



intendendo con questa notazione di annullare i determinanti del 5° ordine 

 estratti dalla matrice (a 5 righe ed w -|- 1 colonne). 



Alle equazioni così indicate non è in generale possibile soddisfare ; ma 

 se per ipotesi sulla superficie esistono oo 2 y ( , 3 , le precedenti debbono ridursi 

 ad un'unica equazione differenziale del 2° ordine in t 2 ; per la loro compa- 

 tibilità, considerate come equazioni lineari in t' 2 ' , occorre e basta che, 

 qualunque sia r[ , risulti (*) 



( 1 ) Questa, che per me è condiz. necess. e suffic. per l'esistenza delle oo 3 Tu» » e > 

 per re = 5, l'equazione da cui parte il prof. Segre. 



