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(2) 



IO 



01 



X*° -f- X n l' t 



X u 4- x°h' t 



= 



4. Vogliamo provare che le y ll3 , definite dalla (1) , sono piane. As- 

 sunte oo 1 di esse come linee = t' 2 ' — 0), si ha 



(3) z 3 » = (x™ , x 10 , x 01 , x) 



indicando la parentesi a secondo membro una combinazione lineare di x e 

 delle derivate scritte, i cui coefficienti, funzioni di x x , t 2 , sono indipendenti 

 dall'indice i delle x ; in altri termini, si ha, per le scelta delle linee t t , 

 un'equaz. lin. omog. a derivate parz. del 3° ordine, soddisfatta da tutte le Xi . 



In forza di questa, l'annullarsi del coefficiente di r\ nella (2) dà l'altra 

 equazione 



(4) x il = {x 20 , x li , x™ , x» 1 , x) 



£si potrebbero ricavare altre equazioni annullando nella (2) i coefficienti 

 delle successive potenze di x\ , ma non ce n'è bisogno]. 



Scriviamo le condizioni d'integrabilità fra (3) e (4), tenendo conto che, 

 per essere S(2) = S 5 , le x non possono essere soluzioni di equaz. a derivate 

 parz. lin. omog. del 2° ordine. 



La derivata se 31 , tratta dalla (3~), contiene x* % se e solo se la (3) con- 

 tiene r 01 ; ma essa deve coincidere, in forza delle equazioni stesse, con la 

 espressione di x 31 ricavata dalla (4) che non contiene jc 02 ; quindi, non esi- 

 stendo equazioni che permettano di esprimere x 02 per mezzo di altre derivate 

 d'ordine <, 3 , nella (3) deve mancare x" x , cioè si ha 



{3') x 30 = {x 2 * , x 10 , x) 



e questa esprime proprio che le curve v { , cioè tutte le y us , sono piane. 



5. Si proietti ora la superficie, data in S„ , da una sua corda sopra un 

 S„_ 2 : alle oo 1 curve piane passanti per ciascuno dei punti di appoggio cor- 

 rispondono, sulla superficie proiezione, rette: questa è dunque doppiamente 

 rigata (non potendo i due sistemi di rette coincidere per la genericità della 

 corda) e non è piana, altrimenti la superficie data starebbe in S 4 contro la 

 ipotesi S(2) = S 5 ; quindi è una quadrica, e perciò la superficie data è la 

 Fj di Veronese, c. v. d. 



