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e nel caso non ciclico 



(4) 



X = \'ylxy) tì,{z) + \/tp z {xy) 6 t (z) 

 Y = y Z=z 



<p{xy) = * 



con 0, (z) = Il(z — kiYn , 62(2) = U(s — hi)*-. 



(n — i'i v 2 1 t>i = qv» con o > 1) 



ove if> = , ipi '— , ifJ z = sono curve aventi un contatto d'ordine w — 1 , 

 v, — 1 , 1*2 — 1 , ovunque incontriamo la 9 . 



Conviene dire che la superfìcie F di cui si è scritta l'equazione è 

 proprio di determinante n e non minore di n quando la curva ellittica K 

 sia irriducibile. 



La distinzione delle superficie F birasionalmente diverse, si collega 

 a quella della distinzione delle curve ellittiche n-ple K , tuttavia non coin- 

 cide con essa, potendosi avere superficie F diverse relative a curve K 

 identiche, non solo nel caso in cui siano differenti i sistemi di curve di 

 diramazione z = ki , ma anche nel caso in cui questi coincidano : il che 

 vedremo esattamente in una prossima Nota (n. 5). 



4. Vogliamo ora esaminare quando la curva K rappresentata nei due 

 casi rispettivamente dalle equazioni (1) e (2) risulti irriducibile, e quando 

 si ottengano così funzioni X birazionalmene distinte. 



Cominciamo dal caso ciclico, in cui Gr è generato da una sostituzione 

 n = (1 , 2 , ... ri) , e assumiamo come modello proiettivo della curva ellittica 

 una cubica <p*{%y) = ; su questa le rette del piano segheranno una g| 

 definita dalla relazione 



essendo u x ,u 9 ,u 3 i valori dell'integrale ellittico u nei tre punti di un 

 gruppo della gl , ed w, , w 2 i periodi di detto integrale relativi ai cicli A e B 

 Si consideri ora una curva d'ordine n tp(xy) = avente con (p tre 

 contatti « punti : questi saranno definiti dalla relazione 



qualora i tre contatti della tp appartengano alla serie (^ esima parte della 

 g^"- 1 segata dalle curve di ordine n) 



Ui -f- u t -J- u 3 = (mod. a), t <w 2 ) 



n(ui + u 2 + «s) = (mod. , <» 2 ) : 



Ui + Uì -+- u 3 = r \- s — 



' n n 



(mod. <w, , o) 2 ) , 



la funzione 



n 







