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Ha corrispondenza suddetta si spezza in v corrispondenze, rispetto a ciascuna 

 delle quali i punti di K, (relativi a un medesimo punto di g>) si divi- 



%< 



dono in v gruppi T, di — punti, e similmente i v, punti di K t si divi- 



v 



dono in v gruppi Z% di — punti. 



E viceversa, se la corrispondenza [y 2 si spezzasse in v corrispon- 

 denze, i Vi punti di Ki si dividerebbero in v gruppi r, e i v 2 punti di 

 K 2 si dividerebbero in v gruppi r t , avendosi corrispondenza biunivoca fra 

 i ^ e i A; e poiché è chiaro che i gruppi F, e r z sarebbero i cicli di 7Ti e 

 n\ , (un r, o un r t venendo distinto entro i v analoghi da una radice 

 r esima ), j e ,j ue f unz i on i x{ e X' 2 riuscirebbero identiche e riuscirebbero 

 quindi simili, rispetto al numero v , i due gruppi di contatto di ip! e tp t . 



Si conclude che la condizione di irriducibilità della curva K data 

 dalla (2) è che siano anzitutto irriducibili le Ki e K 2 cicliche (caso già 

 considerato) e che le terne di contatto di xp x e xp 2 non siano simili ri- 

 spetto ad alcun numero v divisore di v 2 (e di v,). 



Dopo di ciò vediamo le condizioni di identità per le funzioni X . Sup- 

 poniamo anzitutto per semplicità che v t , in generale multiplo di v 2 (r, = 

 = qv z ), sia ad esso eguale (r, = v t t q = 1) . In questo caso si ottiene 

 una sola famiglia di curve K . Infatti le sostituzioni a e fi , il cui periodo 

 è divisore di v t , per generare tutto il G d'ordine v x v 2 = v\ , devono avere 

 il periodo i-, ed essere indipendenti. E poiché due coppie di operazioni a 

 e fi, a' e indipendenti e di egual periodo sono sempre trasformate l'una 

 nell'altra mediante una conveniente % , segue l'asserto. (Il quale asserto è 



d'accordo col fatto che sopra una curva ellittica vi è una sola y , ellittica 



e che questa risulta identica alla curva stessa). 



Per passare al caso generale {v x = qv 2 , 1) si osservi che in questo 

 la K è ottenuta estraendo una radice o esìma sulla K data da 



_ "» "2 



X - t/iptxy) + )/ip z (xy) 

 o anche estraendo separatamente due radici d'ordine r 2 sulla 



9 



X' = iqlzy) ; 



poiché l'estrazione delle due radici r 2 esime dà origine a una sola famiglia 

 di curve, segue dal confronto dei due modi con cui è ottenibile una stessa 

 K , che le K birazionalmente distinte corrispondono alle varie terne di 

 contatto della xpi dissimili rispetto al numero q . 



