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Matematica. — Sull'equazione delle vibrazioni trasversali di 

 un'asta solida, elastica e omogenea. Nota I del dott. Francesco 

 Sbrana, presentata dal Córrisp. Tedone 



1. L'equazione indefinita delle vibrazioni trasversali di un'asta solida^ 

 elastica e omogenea, se si suppone di poter trascurare l'effetto prodotto, sulle 

 vibrazioni, dal peso dell'asta stessa, si riduce facilmente alla seguente forma: 



m — — — o"r»ì 



L'equazione (1) ha diverse proprietà in comune colla nota equazione 

 del calore. Come quest'ultima, infatti, essa è di tipo parabolico, ed ha per 

 caratteristiche le rette y = costante. Seguendo lo stesso procedimento, usato 

 dal Volterra per l'equazione del calore ( 3 ). si può, anche per la (1), stabilire 

 una formula analoga alla formula di Green, relativa all'equazione del po- 

 tenziale. La difficoltà sostanziale consiste, com'è intuitivo, nel determinare 

 la soluzione fondamentale della (1) ( 4 ), che a me è riuscito di ottenere 

 sotto una forma notevolmente semplice, come mi propongo di mostrare bre- 

 vemente in questa Nota. 



2. Come per l'equazione del calore, anche per la (1) è agevole stabilire 

 un teorema di unicità. 



Consideriamo, nel piano xy , una linea aperta, s(y ) , che abbia gli 

 estremi, A e B , su una caratteristica y = y , col senso positivo che vada 

 da A verso B , e tale, che le ordinate di tutti gli altri suoi punti siano 

 inferiori ad y . Supporremo che ogni altra caratteristica, che incontri la 

 linea, abbia con essa due soli punti in comune ( 5 ). Si potrà allora decom- 



( x ) Pervenuta all'Accademia il 1° luglio 1921. 



( 2 ) Cfr. Kirchhoff, Vorlesungen ùber Mechanik, 1897, 29ste Vorles., § 6. 



( 3 ) Lecons sur Vintégration des éq. diff. aux dérivées part., 1912, 10 me le?. 



(*) Per la ricerca della soluzione fondamentale delle equazioni paraboliche alle de- 

 rivate parziali, di ordine superiore al secondo, ved. Block, Arkiv fór Math., Astron. o. 

 Fysik, Bd. 7, 8, 9. 



( 5 ) Si deve eccettuare, tra e<sse, quella di ordinata minima, che avrà comune colla 

 curva un sol punto. Le considerazioni che seguono valgono però anche se la curva con- 

 tiene un tratto di caratteristica y = k, dove k sia una costante, inferiore alle ordinate 

 di tutti gli altri punti di s(y ), e se la curva si estende all'infinito, purché si introdu- 

 cano convenienti ipotesi sul comportamento all'infinito della funzione u . 



