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3. Si riconosce subito che la (1) è 1 auto" g giunta. Se u ed a sono so- 

 luzioni regolari di (1), in S(?/ ) , posto: 



U\X , in = — r u — -4- — or — ; , \{x,y) = a — — — u v 



*' ~òa; 3 lix* 1 Itxìx* 7)x 3 v ly ~ìy 



avendosi, in S(?/ ) , — — — = : risulta 



~bx 7>y 



rUy«) ■ r 

 (2) Y(x,y,)dx = (Vdx + TJdy) . 



Jli(y ) Js(y„) 



Sceglieremo come funzione a{x , y) la funzione 



■r — x 



s> 2^y a —y 



(3) a(x , y ; %q , y t ) = (x — x) \ (sen — cos g> 2 ) dg> + 



+ V* - V (sen + cos - df. > y) , 



(ove iu tendiamo che il radicale sia preso positivamente), la quale sodisfa 

 alla (1) come funzione di x,y, e di x , y • Con questa scelta, la (2) non 

 è più applicabile nella regione S(?/ ) , a causa della singolarità che presen- 

 tano, per y = y , a e le sue derivate. Però essa è applicabile in ogni re- 

 gione S(?/ — «) , corrispondente a una caratteristica y = y — « , (« > 0) , 

 che incontri s(y ) . Avremo, in questa ipotesi, 



fa — — — u)dx= [(Ndx + Vdy). 



Facciamo ora tendere f a zero, supponendo il punto =: {x , ?/ ) , interno' 

 al segmento AB . Troviamo così, facilmente (*), 



s=0j \«y /y=y -e «=0j ^ ^ l J'y=y -e 



fi(^o— «) li(2/o-e) 



per cui, 



(6) ]/2,nu{x ,y ) = lim j (V rfsc + Udy) . 



s=0^s(y o — e) 

 (') Per ciò conviene tener presenti le note formule : 



sen(f *dcp — CC-sqpV<p = j / — ; 



cfr., p. es., Riemann-Weber, Pari. Diff.-Gleich. der math. Physik, 1" Bd., (1910), § 15 

 forni. (15). 



