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Matematica. — Sopra il numero delle classi di forme arit- 

 metiche definite di Hermite. — Nota I del dott. Alberto Beda- 

 rida, presentata dal Socio L. Bianchi ('). 



1. Generalità. Il Lipschitz (*), con procedimenti di Aritmetica pura, ha 

 determinato, per le forme aritmetiche di Gauss e di Dirichlet, le relazioni 

 tra i numeri delle classi di forme, quando i determinanti differiscano per 

 un fattore quadrato. Come è noto, si trova, per tali forme, che uno dei due 

 numeri è sempre un divisore dell'altro. 



Noi ci siamo proposti di applicare tali procedimenti alle forme aritme- 

 tiche di Hermite ( 3 ), appartenenti al campo di Gauss, o corpo K(|/ — 1) ; 

 cioè alle forme del tipo : 



(1 ) f=(a,b,c) = axx -}- bxy + b x a y -J- cyy , 



ove a e c sono interi razionali, b e b interi complessi coniugati di Gauss, 

 x y ij le variabili appartenenti a questo campo, x , y a le loro coniugate. 

 L'espressione J = bb — ac è il determinante delle forme (1). 



In questa Nota ci occuperemo delle forme di Hermite definite (J <C 0) ; 

 e diremo subito che, per le forme in considerazione, si penetra più pro- 

 fondamente nel metodo del Lipschitz e ciò coti sviluppi più ampi e più vari. 



Per le forme aritmetiche definite di Hermite (primitive) ( 4 ) non si 

 giunge alla medesima conclusione osservata per le forme aritmetiche di Gauss 

 e di Dirichlet; ma, precisamente: se J' = Jp 2 oppure J' = Jnn = Jq 

 (esclusi i casi particolari J = — 1, — 2 , — 3) , ove p è un numero primo 

 razionale nel campo di Gauss (p = 3 (mod. 4) ) e ti è un numero primo 

 complesso in questo campo (q primo nel campo dei numeri interi ra- 

 zionali, = 1 (mod. 4) oppure q = 2). , il numero delle classi di forme 



( 1 ) Pervenuta all'Accademia il 24 giugno 1921. 

 ( a ) Lipschitz, Crelle's Journal, 53, 54 Bdd. 



( 3 ) Hermite, Oeuvres, toni. I, pag. 235 e seg. ; oppure Crelle's Journal, 47 Bd. 



( 4 ) Una forma del tipo (1), di Hermite, si dirà primitiva, quando gli interi a, b , 

 b , c non hanno iu comune alcun fattore intero razionale. Una forma primitiva si dirà 

 di prima o di seconda specie secondo che dei coefficienti a e c uno almeno è dispari 

 oppure nu. Per l'esistenza delle forme primitive di seconda specie deve aversi J = 1 

 (mod. 4), oppure J=2 (mod. 4) . 



