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aritmetiche definite di Hermite, a determinante J' , è sempre una combina- 

 zione lineare, intera, omogenea, a coefficienti interi razionali, di due oppure 

 tre numeri delle classi di due, oppure tre, ben determinati insiemi di classi 

 di forme aritmetiche definite di Hermite, a determinante J , secondo che si 

 tratta di forme primitive di prima oppure di seconda specie. 



Queste relazioni si estendono al caso di un intero composto (razionale 

 o complesso di Gauss). 



La ragione di questa differenza di risultati riposa sul fatto che i pro- 

 cedimenti del Lipschitz sono intimamente legati alla considerazione del 

 gruppo automorfo aritmetico delle forme ; gruppo che per le forme di Gauss 

 e di Dirichlet è perfettamente determinato dal determinante delle forme, 

 mentre per le forme (definite) di Hermite il determinante non definisce 

 completamente il tipo del gruppo automorfo aritmetico. 



L'equivalenza aritmetica delle nostre forme sarà l'equivalenza aritme- 

 tica propria, cioè quella rispetto al gruppo delle sostituzioni ' ^\ ove a , 



§ , y e ó sono interi di Gauss, tali che ocd — §y — -J- 1. 



2. Proposizioni fondamentali. La ricerca si fonda sopra le seguenti pro- 

 posizioni. Per brevità, escluderemo il caso n = 1 -j- i . Si ha : 



Data una forma di Hermite (') (definita od indefinita), f ' = (a' , b' , c'J , 

 a determinante J /Li[i ove fi è un numero primo nel corpo K(f/ — 1) , pri- 

 mitiva di prima o di seconda specie, esistono sempre forme di Hermite 

 (definite od indefinite), a determinante 4 , rispettivamente primitive di 

 prima o di seconda specie, che, con sostituzioni aritmetiche a modulo fi , 

 si trasformano nella forma considerata f. Tali forme costituiscono una 

 ed una sola classe. 

 Di qui segue: 



Tra le classi di forme di Hermite (definite od indefinite), a deter- 

 minante J , primitive di prima o di seconda specie, e le classi di forme 

 (definite od indefinite) di Hermite, a determinante J/Jb/i* , rispettivamente 

 primitive di prima o di seconda specie, è stabilita una corrispondenza, 

 in modo che ad una classe di forme a determinante J , primitive di 

 prima o di seconda specie, corrispondono n(n ^ 1) classi di forme a deter- 

 minante J/n t a , rispettivamente primitive di prima e dì seconda specie, 

 e, viceversa, ad una classe di queste corrisponde, rispettivamente, una ed 

 una sola classe delle prime. 



Le forme di Hermite siano ora definite (J <Z 0) e, ad es., positive. È 

 noto ( 2 ) che il loro gruppo automorfo aritmetico è un gruppo finito. 



( 1 ) Tacitamente intendiamo che le forme di Hermite che si considerano siano arit- 

 metiche ed appaitenenti al corpo K(f/ — 1) . 



( 2 ) Bianchi: Math. Ann., 38 Bd. 



