MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sopra alcuni sviluppi in serie. Nota I di 

 Pia Nalli, presentata dal Corrisp. Giuseppe Bagnerà (M. 



In una Nota recente ( 2 ) ho accennato alla rappresentazione di una fun- 

 zione in serie di funzioni fondamentali dell'operazione 



rx nix 

 8[u(x)'] = g(x) u(ux)+\ N(z , s) u{s) ds + ?(x,s)u(s)ds (0<«<1) 



ed ho detto che tali serie sono più da assimilarsi a generalizzazioni di serie 

 di potenze anziché a generalizzazioni di serie di Fourier. 



Mi propongo di avvalorare la mia asserzione con un esempio particolare. 



1. Consideriamo la particolare operazione 



J~0UE 

 u(s) ds . 

 



Essa ammette le funzioni fondamentali u (x) , u x {x) , u^x) , ... corrispondenti 



alle costanti caratteristiche 1 , — , — , e cioè si ha in generale 



a cr 



race 



(1) a" u n (x) = u n {ax) -|- u n (s) ds . 



- o 



La u n {x) si annulla per x = insieme con le sue prime n — 1 deri- 

 vate ed è determinata a meno di una costante moltiplicativa, che fisseremo 

 in modo che la derivata a esim!1 di ujx) prenda il valore n ! per x = . 



Dalla (1), derivando e dividendo per a, troviamo 



J~auc 

 u' n (s) ds , 

 



quindi u' n (x) è il prodotto di u n -i(x) per una costante, e siccome per x = 

 la derivata {n — l) m * di u'„(x) prende il valore n\ abbiamo 



(1') u' n (x) = nu n - 1 (x). 



(*) Pervenuta all'Accademia il 9 settembre 1921. 



( 2 ) Sopra un'equazione funzionale, Nota II. Questi Rendiconti, 2° sem. 1920. 



