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Servendoci di questa relazione possiamo trovare lo sviluppo di u»(x) 

 in serie di potenze di x quando sia noto quello di u (x). Quest'ultimo si 



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ottiene facilmente dalla (1) per n = 0. Ponendo u n (x) = \ c n x n , prendo- 

 no 



remo <?<> = 1 e per n > si dovrà avere 



C n = C n a n -f- — a n , 



n 



come risulta dalla (1) eguagliando i coefficienti delle stesse potenze di x 

 nei due membri; quindi 



1 a~ r ~ 



ni (1 — a) ( l — a*) ... (1 — «") 

 Dunque, l'espressione generale di u m (x) è la seguente funzione intera di x : 



u m {x) = y 



(«— m) (n— m+1) 



a ~ 



ér m (l — «)(1— «*)... (1 — ) ni 



Ciò si vede integrando successivamente u {x) tra i limiti (0 , x) in base 

 alla (1'). 



Per a = , u m {x) si riduce ad x m . 



2. Supponiamo che una funzione f{x) analitica regolare nelle vicinanze 

 del punto x = , si possa sviluppare intorno a questo punto in una serie 

 tmiforraemente convergente di funzioni u, cioè mettere sotto la forma 



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^_a n u n {x) . 



Si può esprimere facilmente il coefficiente a» per mezzo dei valori che 

 prendono la funzione f(x) e le sue prime n derivate nel punto x — . 

 Dimostreremo che si ha; 



(2) a n = —. £(_ i)* a \ /<«-*> (0) . 



nl£= (1 — a) (1 — a*) ... (1 — cr) 



Intanto la formola è vera per w = 0, perchè /(0) = « , e per n = l, 

 perchè 



f'(x) = a u' a (x) + a>\ ^o(^) + 2a* u x {x) + • • • 



CC 



e perciò /'(O) = a u' (0) + , ed essendo &ó(0) = ^ - . è 



