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Ammettiamo vera la (2) fino ad a„ e dimostriamola per a n +\ • 

 Derivando f(x) n-\-l volte, troviamo: 



/>owo>(a,) = a u l ™\(x) + a x + 2 ! a, (x) + • •• 



• •• +(«+l)! « n+ , u {x)-\-{n-\-2)\ya n ^u x (x)-\- a n+ì ~- -\ J , 



e per x = : 



(3) f<»+»(0) = a <" +1, (0) + a, (0) + - + (n+ 1) ! a n+ , . 



Tenendo conto delle espressioni di a , a, cerchiamo il coefficiente 



di / ft (0) nella somma dei primi « -f- 1 termini del secondo membro 



della (3). Esso è 



Per A >. 1 , aggiungendo a questa somma un altro termine dedotto da 

 quello generale facendo r = n — A + l, otteniamo il prodotto di (a — k-\~l)l 

 per il coefficiente di posto n — k~\-2 nello sviluppo di u (x) in serie di 

 funzioni u , ed essendo tale coefficiente nullo, concludiamo che la somma (4) 

 è eguale a 



a n—k+l 



(5) _-(— 



n-ft+ 1 | 



(1 — a) (1 — a 2 ) ... (1 — a 



Ora mostreremo che l'eguaglianza tra le due espressioni (4) e (5) sus- 

 siste anche per k — Q; ossia, tenendo conto del valore ^ n-r+1) (0), dimo- 

 streremo che la differenza tra (4) e (5), cioè 



(n— r-t-l) (ii—r+t) 



y ( _D "1 « ! 



£=j V ' (1— «) (1 — a 2 ) ... (1— a r ) (1— a)(l— a 8 )... (1 — a"- 1 ** 1 ) 

 è nulla. 



Se dividiamo tutto per a n+l , l'identità da dimostrare si riduce alla 

 seguente: 



(n— r) (»— r-4-D 



n-t-i 2 a 2 



Jo^~~ ^ r (l — «) (1 — « 2 ) - (1 —«7 (1 — a) (1 — a 2 ) ... (1 — a»^' 1 ) = ° ' 



Denotiamo il primo membro con A„+i : per le ipotesi fatte è A n = 0. 



Per r > 1 decomponiamo il numeratore 1 del primo fattore del ter- 

 mine corrispondente in A n+1 nelle due parti 1 — a r ed a r ; A n+1 si potrà 

 allora decomporre in due somme: la prima è A n ed è nulla, rimane 



