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(n-Q («— r+l ) 



f(- i) É 5 - 



^o V ' (1— a)... (1— cc r ) {l — a)...(l — a n - r+1 ) 



Per r <. w il secondo fattore del termine generico di questa somma si 

 può decomporre nella somma di queste due parti: 



(h— ri («— r-t-l) («— r+l) (n— c-i-2) 



/v 2 /v 2 



(1 — a) ... (1 — a»-*) ( 1 — «)... (1 — a"-^ 1 ) 1 



ed allora A n+1 si decompone in due parti: una è A„a" e l'altra A n+1 a" +1 . 

 Abbiamo così A n+1 = k n+1 a n+ì , A n+1 = . Dalla (3) ricaviamo così 



/•<-»(<)) -£ —— /•«>(()) + (w + i)! « n+i , 



cosicché la (2) è vera anche per il coefficiente a n+1 . 



3. In seguito sarà dimostrato che una funzione analitica regolare all'in- 

 terno di un cerchio avente centro nell'origine si sviluppa in serie di fun- 

 zioni u che converge uniformemente in qualunque regione interna al cerchio. 



Avremo in particolare in tutto il piano, in base all'espressione di a n 

 per f{x) = 1 : 



(6) i = y ( -ir - uJ & 



y 1 è£ ' (1 — «)(1 — «')... (l-« w ) ni ' 



e da questa, per derivazione, si ottiene lo sviluppo di u' (x) : 



Ed ora siamo in grado di dare una formola che presenta una grande 

 analogia con quella di Maclaurin. 



Sia f{x) una funzione reale che ammetta derivate tino all'ordine n in 

 ogni punto dell'intervallo (0 , x) , x > . 



Poniamo 



(8) f(x) = f(0) u (x) + [/'(0) ^ ^(0)] + • • • 



.. + [>-i> (0) _ ^/--"(o) + - + (-ir 1 (TZ a) .^L^-./ w] X 



con r intero positivo. 



Si denoti con F(^) la funzione che si ottiene cambiando nel secondo 

 membro l'argomento x di ciascuna delle u in x — z, ed in s l'argomento 



