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•o della /' e delle sue derivate. Si ha F(0) = F(#) = f(x) , quindi la deri- 

 vata di F(s) si annulla in un punto £ interno all'intervallo (0 , x) . 

 Ora si trova facilmente 



rw-[/«w - r ~a ^"-"(•• ) + ■■• + <- 1) " (i zsr M ~i x 



(n — 1) ! 



•dove con g n {x) denotiamo la somma dei termini dello sviluppo di u' (x) a 

 partire dall' (n + l) m0 . 



Da F'(£) = ricaviamo la seguente espressione per il resto — H(,r) 

 della formola (8) 



[>w-rh f u -(S) + ■•■ + (-ir (1 _ c) tt ," (1 _ ca) A«]x 



« w _i(a; — g) Ma;) , /7»(s — £) Mg) 



Mostriamo che l'ultima parte di questo resto tende a zero al tendere di n 

 ad oo . 



Si ha u m (x)>x m ; poi, essendo 



(a;) = m \ (x — £)"•-' rf? 



abbiamo u m (x) <C # m m (^), quindi 



Ma 



^4(1 -«)...(! )' »! ^ 



<Mo(x) ik(l-«) — a-*>)"m! ; 



•quindi 



< " o(aS) £ (1 -«)...(!— ' ~mT 



La diseguaglianza si rafforza se al primo membro si mette x — £ al 

 posto di x; quindi 



M^) 



<«J(«) £ 



=n(l — «)...(!— « m+1 ) »! 



ed il secondo membro tende a zero al tendere di jì ad oo 



