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critici apparenti dovranno essere non solo simili,, ma equivalenti. E ciò 

 è anche sufficiente per l'identità birazioDale delle F ed F' cicliche. 



b) Per l'esame del caso non ciclico occorre riprendere in esame la 

 condizione di identità delle curve (2) , mettendone in evidenza l'aspetto arit- 

 metico, e a tal uopo premettere un'osservazione relativa ai gruppi abeliani. 



Siano t x e t 2 due operazioni del nostro gruppo abeliano G defluito da 

 7Tj e 7i 2 , ed abbiano gli stessi periodi, v x = qv 2 e v t , di 7t 2 e n 2 : sarà 



a, a 2 „b t 



T 1 = 71 1 5T 2 , T 2 — n \ ™l > 



dove a x sarà primo con g e b x multiplo di q: b x — qb x . 



Diciamo che la condizione affinchè r x e r 2 generino l'intero G (cioè 

 abbiano effettivamente i periodi v x e v 2 e siano indipendenti) è che il de- 

 terminante 



4 = a^b % — a 2 b x 



sia primo con r 2 . 



La condizione è sufficiente: infatti, se t, e t 2 non generassero tutto 

 G , si avrebbero due numeri h e k non multipli contemporaneamente l'uno 

 di Vi e l'altro di v 2 , tali che t\ t 2 = 1 , il che porta (data l'indipen- 

 denza di jtj e tt 2 ) hai + kb x = mod. r x , e ha 2 -f- kb% = mod. v 2 , dalla 

 prima delle quali relazioni (essendo v x = gv 2 , b x = qbi ed a x primo con g) 

 segue che h è multiplo di g: h = gh; si ha così contemporaneamente 



ha x + kb x = mod- v 2 e glia 2 -f- ## 2 = mod. v 2 , 

 da cui segue 



h(n l b 2 — ga 2 b x ) = k(ga 2 b x — a x b 2 ) = mod. r 2 : 



cioè, essendo b x = gb l ed h = - non multiplo di t> 2 insieme con k, dovrà 



J = a x b 2 — aj)i avere un divisore comune con v 2 . 



Viceversa si supponga che J e v 2 abbiano un divisore comune à , e 

 si osservi che in tale ipotesi 



"2^1 V t tti l'i. , , 



-ir — —j- -jiatbi—aiOz) 



%\ t 2 = 7l 2 = 1 . 



Ciò posto : o divide contemporaneamente ai e A , e allora è chiaro che 

 Tj e t 2 non generano tutto G ma solo le operazioni del tipo Ti x r tc\ ; o in- 

 vece S non divide contemporaneamente ai e b\ , e allora l'eguaglianza pre- 

 cedente dice che t, e t s non sono indipendenti o hanno periodi minori di 

 v x e v 2 , sicché in ogni caso non generano l'intero G . 



Ora è noto (ed è chiaro) che, se t x e % 2 hanno i periodi v x e v 2 e sono 

 indipendenti, esiste una sostituzione che trasforma contemporaneamente n x e 



