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birazionalmente identica alla F data dalle (4). Per le sezioni g = cost. do- 

 vranno anzitutto essere soddisfatte le condizioni di similitudine (5) , le quali 

 dicono che le sostituzioni sui punti di F' (cioè sui valori dei radicali della 

 sua equazione) relative ai cicli d si ottengono dalle analoghe sui punti di 

 F . cambiando 



n x e 7r 2 in 1 1 — - 7rf 1 rcf 2 e t 2 = n\ x n\* ; 



questo dunque dovrà accadere oltre che per i cicli G,- non nulli, anche per 

 cicli avvolgenti le superficie di diramazione date (sulla varietà riemanniana 

 del cilindro <X>) dalle equazioni 



0,(*) = O , 2 (s) = O , O[(z) = , 2 (*)=O. 



Il polinomio 6[ dovrà dunque differire da 6? 1 2 ' per un fattore 2 ele- 

 vato all'esponente , e l'analogo dicasi per 2 ; dovrà cioè essere 



0? 1 0*' = e[ , 2 * a 0f* = 0; 0g a 



Riassumendo, le condizioni perchè due superficie F ed F' rappresen- 

 tate dalle (4) g (4') riescano birazionalmente identiche sono che: 



1°) le coppie dei gruppi di contatto delle curve ipi , tp^ , tfj[ , tp^ , 

 sjVmo simili, soddisfacendo alle relazioni 



a^, + è,D 2 = Dl4-(«, l)T, a 2 D, -f^ 2 D 2 — D; + (a 2 + è 2 — 1)T, 



avendosi primo con q = — , è, divisore di (» , J = aib z — a z b x primo 

 con v 2 ; 



2°) esistano due polinomi 0, e 2 to« <?A« 0?' 2 ' = 0| al 1 , «Nf 2 = 



2 2 a . 



In particolare, ove si voglia, 0! = 6[ , 2 = 6' 2 , dovremo avere : 



a l = 1 , = , A 2 = 1 , a 2 = , 



sicché le (to' punti di contatto di e xp[ , ip t e xp' 2 debbono essere 



equivalenti. 



NOTA. I risultati esposti sono stati ottenuti poggiando sul teorema di 

 Abel, che dà la definizione trascendente delle serie lineari : ai risultati 

 stessi si potrebbe pervenire per via analitica in base ai teoremi delle tra- 

 sformazioni delle funzioni ellittiche, anche per via puramente algebrica, 

 partendo dal teorema d'esistenza, usando le formule numerative inerenti alla 

 divisione delle serie, ed osservando che j^t//, e l/ty* dànno lo stesso irrazio- 

 nale ove sia h primo con n . Ma non crediamo necessario diffonderci qui su 

 questa seconda via. 



