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MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sulle relazioni fra le misure di un insieme 

 variabile e dell'insieme suo limite. Nota del dott. Gabriele Mam- 

 mana, presentata dal Socio Luigi Bianchi C). 



In una Nota sugli integrali dipendenti da parametri, attualmente in 

 corso di stampa presso il Circolo matematico di Catania, stabilisco che un 

 integrale 



9>(q)= CfiPiW 



esteso a un insieme E(y) variabile col punto q , è continuo se 



(1) lim m[E(?) -f W)— E(tf)E(?')] = 



e chiamo insiemi variabili con continuità gli insiemi che soddisfano alla (1). 



D'altra parte si ha già il concetto di limite di un insieme variabile ( 2 ) 

 per modo che si sarebbe indotti a dire che un insieme varia in modo con- 

 tinuo quando 



(2) lim E(gO = E(g) . 



q'—q 



Di questa relazione di limite si è fin ora detto soltanto che 



lim m E(r/) = m E(#) . 



q'-q 



In questa Nota dimostrerò che vale invece la relazione (1) che è più si- 

 gnificativa, in quanto per essa si mette in evidenza come, col tendere di 

 q' a q le parti non comuni all'insieme limite R(q) ed all'insieme E(<?') 

 finiscono per acquistare e conservare poi sempre misura piccola come sì 

 vuole. Così resta pure provato che la (2) ha di conseguenza la (1); vice- 

 versa la (2) in generale non consegue dalla (1), di modo che la definizione 



(') Pervenuta all'Accademia il 23 luglio 1921. 



( 2 ) «Veramente il limite viene definito (veci De La Vallèe Poussin : Les intéyrales de 

 Lebesgue, etc, Paris, Gauthier-Villars et C, 1916, pag. 8) per una successione illimitata 

 di insiemi; però l'estensione al caso di un insieme Efg) variabile con un punto è im- 

 mediata : basterà, per questo, definire lim E(q') l'insieme che ha per funzione caratteri- 



qi=q 



ntica il limite (quando esiste) per q' tendente a q della funzione caratteristica corri- 

 spondente a E(<?') . Il limite così definito (si può dimostrare) è misurabile, se lo sono 

 gli insiemi E(<?') considerati, e la sua misura è limite delle misure in E^O degli in- 

 siemi stessi. 



