— 356 — 



di insieme variabile con continuità, da me data, viene ad avere significato 

 più largo di quello espresso dalla (2) . 



Per semplicità mi limiterò qui a considerare solo il caso di una suc- 

 cessione illimitata di insiemi; l'estensione, del resto, al caso di un insieme 

 K(q) variabile è immediata [veil. la nota ( 2 ) della pag. prec.]. 



Si abbia la successione convergente di insiemi misurabili 



(1) E,,E 2 ,..E n .. 

 e sia 



E = lim E„ . 



»«=0O 



(f n , e y> ,(<p = \im (p n ) indichino rispettivamente le funzioni caratteristiche 

 di E„ e di E. 



Fra le misure dei termini della (1) e del limite E, intanto, vale la 

 relazione (') 



(2) lim | wE — m?j n | = 0. 



Consideriamo l'altra successione che si ottiene dalla (1) moltiplicandone 

 i termini per E: 



(3) EEi , EE, , ... EE„ , ... ; 



dico che questa è convergente ed il suo limite è ancora E . 



Invero, la funzione caratteristica 0> n del termine generale EE„ è data, 

 come è noto, dal prodotto delle caratteristiche di E e di E„ ; cioè </>„ = <f><f> n . 

 Ora si ha 



lim <I> n = lim (f(f n = (/ lim (f n = y> 2 y> 



e quindi la (3) converge, ed ha per limite l'insieme che ha <p per caratte- 

 ristica, cioè l'insieme E . Ciò poteva anche vedersi direttamente, applicando 

 i teoremi elementari sui limiti di insiemi. 



Ma la misura del limite di una successione di insiemi, è limite delle 

 misure degli insiemi stessi : perciò 



lim (mE — mEE„) = e, per la (2), anche 



(4) 



K ' lim(mE„ — wEEJ = 0. 



A queste due relazioni possiamo sostituire la relazione unica equivalente 

 (5) limw(E + E„ — EE„) = 0. 



(') De La Vallèe Poussin, opera citata, pag. 27. 



