Inversamente: Data la (l),ogni insieme F che soddifi alle condizioni 

 espresse dalla (5) o, ciò che fa lo stesso, dalle (4) , e cioè 



lim [mF — m'FEJ = e lim (mF n — mFF n ) = , 



« = 00 « = oo 



può differire dal limite E della (1) al più per insiemi di misura nulla. 

 Infatti dalla ipotesi consegue 



mF = lim mFF n , e lim mF„ = mF = lim mFE n , 



71 = 00 « = 00 K=0O 



da cui mF = mF . 



D'altra parte, se si considera la successione FE, , FE 2 , ... FE„ . ... pei 

 teoremi elementari sui limiti di insiemi si ha (') 



lim FE„ = lim F lim E„ = FE , 



«=co B=oo M=oo 



quindi anche 



mFF = lim mFF n 



« = 00 



e per conseguenza, infine, 



mF = mF = mFF ; 

 ciò che dimostra quanto si è asserito. 



Nota. L'esistenza di un insieme F die soddisfi alle condizioni di cui 

 sopra, rispetto ad una qualunque successione di insiemi, non basta, in gene- 

 rale, ad assicurare la convergenza della successione stessa, come si può con- 

 statate dal seguente 



Esempio. Consideriamo l'insieme costituito da tutti i punti di un cir- 

 colo C , ad eccezione di quelli appartenenti ad un suo raggio r . Facciamo 

 rotare C intorno al proprio centro successivamente per angoli di ampiezza 

 , w , 2w , Sw ... nw (w 4= 27r) ; indichiamo con C , 0, , C» , ... C„ ... (6 ) gli 

 insiemi corrispondenti alle successive rotazioni, e con r , r x , r% , . . r„ ... i 

 raggi di punti esclusi rispettivamente di C , C s ... C„ ... Ora, se w è com- 

 mensurabile con 27r, per un certo valore m di n e pei suoi multipli. C riprende 

 la posizione iniziale e perciò in un qualunque punto di r (per esempio) la fun- 

 zione caratteristica <p„ di C„ , col crescere i\ ii , assume alternativamente 

 valori uguali a zero e a uno, e non ha limite; e lo stesso avverrà della \ Q). 

 Invece, se io è incommensurabile con 2n , C non riprende mai una stessa po- 

 sizione, per quanto cresca u ; quindi in un punto P qualunque interno a C 

 la (f>„ o è sempre uno, qualunque sia u (cioè r„ non passa mai per P) , o 

 assume il valore zero solo per un dato valore m di h . e poi per u^> m ri- 

 torna ancora e rimane sempre 1 . In ogni caso il suo limite per n = oo 

 esiste ed è uno nei punti interni a C, e zero nei punti esterni; e la (6) per 

 conseguenza ha per limite l'insieme (dominio) di tutti i punti di C. 



( x ) Ved. De La Vallee Poussin, opera citata, pag. 10, 

 Rendiconti. 1921. Voi. XXX, 2° Sem. 



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