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D'altra parte il dominio costituito da tutti i punti di C gode, tanto 

 nel primo come nel secondo caso, delle proprietà espresse dalla (5). 

 Possiamo enunciare il teorema: 



Teorema. Condizione necessaria perchè un insieme E sia limite di una 

 successione di insiemi E, , E 2 , ... E„ , ... è che 



lim m (E -f- E„ — EE„) sia = . 



Questa condizione non basta in generale ad assicurare l'esistenza del 

 limite della successione stessa; però, se questo esiste, può differire da E al 

 più per insiemi di misura nulla. 



Ma si può dire di più, e cioè: Fra i termini di una successione di 

 insiemi Ei , E» , E 3 E„ .... e il suo limite E, intercede la relazione 

 lim(E-f-E„ — E E») = che è caratteristica del limite; in altri termini: 



»=00 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè un insieme E sia limite di 

 una data successione, è che la successione formata colle parti non comuni 

 a E e ai termini della data successione, converga non soltanto verso un in- 

 sieme di misura nulla [come risulta dalla (5)], ma addirittura verso l'in- 

 sieme nullo. Cosi, per esempio, nel caso di insiemi superficiali la succes- 

 sione delle parti non comuni, di cui sopra, non potrebbe tendere neanche 

 a delle linee o a dei punti isolati. Tutto ciò ci darà ragione del perchè 

 la (5) non assicura la convergenza della successione. 



Infatti: conservando le notazioni del precedente paragrafo, prendiamo 

 a considerare la successione (E-f- E„ — EE„) , per (n == 1 , 2 , 3 , ....) formata 

 colle parti non comuni a E e ai termini della (1), e calcoliamone la carat- 

 teristica f n del termine generale, in funzione delle caratteristiche <p e <p n 

 rispettivamente di E ed E„. Applicando i teoremi sulle funzioni caratteri- 

 stiche ( 1 ), si ha 



f n = 1 j-rr (1 — SP) (1 — <fn) — <p<p n = <p + (fn — 2<pg> n , 



che potremo anche scrivere: 



fn = <p* + 9>l 2<p(fn =(SP — (fnf , 



e quindi f n = 9> — (fin • 



Ora, se E = lim E„ , cioè <p = lim <j>„ , sarà lim f„ = e per con- 



k = oo n—oo 



seguenza lim (E -f- E» — EE„) = 0. Viceversa da quest'ultima consegue la 

 prima, ciò che dimostra il nostro asserto. 



(!) De La Vallèe Poussin, op. cit., pag. 7. 



