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MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sulle varietà contenenti più serie di super- 

 ficie totalmente geodetiche. Nota di Enrico Bompiani, presentata 

 dal Socio T. Levi-Civita. 



1. È noto che se una V 3 possiede oo 1 superficie totalmente geodetiche 

 (tali cioè che ogni geodetica di. una di esse è geodetica per V 3 ), il suo ele- 

 mento lineare ha la forma data da Hadamard (*) 



2 



ds 2 = y "iftl 'i , '2) dx t dx k -f- a 33 ('ì , x 2 , x 3 ) dx\ 



quando le superficie tot. geod. siano le dx 3 = . 



Qui mi propongo di caratterizzare le V 3 che posseggono due serie oc 1 

 di sup. tot. geod. con la condizione che la congruenza delle loro linee d'in- 

 tersezione sia normale. 



3 



2. Se entro una V 3 , definita metricamente dal ds*= s T ('^(xì ,x Zì x^dXidx H , 



1 



2_ 



è data una superficie col porre x ( = x t (u t , w 2 ) e di ds 2 = y_ b x rs (ui , u 2 ) du x du 2 , 



ì 



condizione necessaria e sufficiente affinchè questa risulti totalmente geode- 

 tica per la V 3 è che si abbia ( 2 ) 



~ÒU r ~Ì)U S — ( T ) 6 pT ( Ì Sa ÌU r ÌU S ~ 



Per esprimere p. es. che le superficie ^-3 = (sulle quali si può as 

 sumere x x = u x , x 2 — u t ) sono tot. geod. basta scrivere i simboli J \ b ed { \ a 



C 1 ) J. Hadamard, Sur let éléments linéaires à plusieurs dimensions [Bull. Sciences 

 Mathém., t. XXV, 1901^] ; ivi sono determinate anche le V 3 con "oó 2 superficie tot. geod., 

 ma non le V 3 con più serie ce 1 di tali superficie. G. Ricci, nella Nota Sulle superficie 

 geodetiche in una varietà qualunque e in particolare nelle varietà a tre dimensioni 

 [Rend. Acc. Lincei, voi. XII, serie 5 a , 1903J] , ha ripreso il problema in generale e, nel 

 caso delle V 3 , ha determinato le caratteristiche geometriche di quelle contenenti oc 2 

 sup. tot. geod., in relazione alle curvature e congruenze principali in esse contenute. 



( 2 ) In questa forma si trovano nella mia Memoria: Studi sugli spazi curvi; la 2" 

 forma fondant, di una V m in V n [Atti R. Istituto Veneto di Scienze ecc., in corso di 

 stampa, 1921J. 



