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in funzione di simboli di Christoffel di 1* specie relativi a V 3 , []«, e si 

 ottiene 



a (31) X, + a C3 *> X 8 -f- a< 33 > X 3 = 

 che deve esser soddisfatta da 



x.-[«] ( ,x,-.[^, X .-[«] i (! -,* = i, 2 ,. 



Di qua, riferita la V 3 alle oo 1 sup. tot. geod. e alle loro traiettorie or- 

 togonali, si ha il risultato citato di Hadamard. 



3. Esistano in V 3 due serie oo 1 di sup. tot. geod., facenti parte di un 

 sistema triplo ortogonale. Si ha subito 



ds* = dui + a it {xi , x s ) dx\ -f- a 33 {x x . x 3 ) dx\ ; 



cioè: se una V 3 contiene due serie oo 1 di sup. tot. geod. facenti parte di 

 un sistema triplo ortogonale, le superfìcie di una stessa serie sono fra 

 loro applicabili e l'applicabilità è determinata dalle traiettorie ortogonali 

 alle superficie della serie considerata; e viceversa. 



Se poi esiste una terza serie di sup. tot. geod. passanti per la con- 

 gruenza d'intersezione delle due prime, si trova 



ds 2 = e\ Xì ) (dxl + dx\ -f- dxl) ; 



quindi : se in una V 3 contenente due serie di sup. tot. geod. facenti parte 

 di un sistema triplo ortogonale esiste una tersa serie di sup. tot. geod. 

 passanti per la congruenza d'intersezione delle due prime, la V 3 contiene 

 oo* sup. tot. geod. passanti per la congruenza ed è rappresentabile con- 

 formemente sopra uno S 3 euclideo. 



Fra queste sono le V 3 a curvatura costante. 



4. La V 3 contenga due serie oo 1 di sup. tot. geod. non ortogonali fra 

 di loro, con congruenza d'intersezione normale. Assunte le sup. ortog. alla 

 congruenza come dx x = e quelle tot. geod. come dx t = , dx s = , 

 flii = «is = , a ì3 4= 0. 



Le equazioni da soddisfare sono 



a< 32 > X 2 + a (33) X 3 = 

 a <M> Y 2 + a (J3) Y, = 



per X, = [* 2 A: ] , X 3 = [Y] (i , A = 1 , 2) ; Y 2 = • ^ 



(•",'* — 1 , 3). 



Da esse si ricava 



ds 2 = e i (x ì ) [dx\ + F [e x dxl + 2 dx 2 dx 3 + e* dxl)] 



