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con F , 1 , fi funzioni soltanto di x% , x 3 legate dalle equazioni 



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7) log F _ DA 7) log (e x -. u - — 1) _„ D log — 1) 



"a log F 7) log (gW— 1) _ x 7) [og(e k -r — l) 



^(l — n) 7> l~ _„, D log — 1) "1 j_ f~~ -> Dlog(g x ^ — 1) 



sicché, prese due funzioni A , soddisfacenti a quest'ultima, con la condi- 

 zione X -}- /* 4= » s i ha F con una quadratura. 



Le ultime equazioni esprimono che linee coordinate (./ 2 o x 3 ) sopra una 

 superficie dx L = sono per essa geodetiche; riferendo queste superficie ad 

 un sistema di geodetiche e alle Loro traiettorie ortogonali, si ha (' = < i): 



questo ds 2 , come si vede subito, contiene oo 2 sup. tot. geod. (altro risultato 

 di Hadamard) ; quindi : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una V 3 contenga co 2 sup. 

 tot. geod. è che essa contenga due serie oo 1 di mp. tot. gèod. non orto- 

 gonali con congruenza d'intersezione normale 



L'interesse di questo risultato sta nel fatto che si ritrova il ds* di 

 Hadamard partendo da ipotesi molto meno restrittive: una delle oo 2 sup. 

 tot. geod. è individuata da una geodetica di una sup. ortogonale alla con- 

 gruenza più volte nominata e contiene le oo 1 geodetiche di V 3 che vi si 

 appoggiano. 



Tutte le V 2 tot. geod. sono applicabili fra loro e sopra superficie di 

 rotazione (Ricci, loc. cit.). 



5. Numerose proprietà di queste V 3 seguono da una delle due forme 

 adottate per il ds 2 . 



Due superficie tot. geod. si tagliano lungo tutta la geodetica d'inter- 



sezione sotto angolo costante \cosa> = <? a / ( 2 ); le geodetiche di una- 



i 1 ) Questo fatto è in intima relazione con l'altro (Ricci) che la congruenza ortogo- 

 nale ad oo 1 sup. tot. geod. è principale e che non possono esistere due congruenze prin- 

 cipali non ortogonali, se non se hanno oo 1 , cioè la V 3 ha necessariamente due curva- 

 ture principali uguali, ecc. 



( 2 ) Ciò è chiaro geometricamente. L'angolo delle due sup. tot. geod. per un punto 

 è l'angolo delle linee x 2 , x 3 che vi passano: se il punto si sposta lungo una geodetica 

 della congruenza, gli elementi lineari di x 2 , x 3 si spostano per parallelismo di Levi-Civita. 

 (perchè formano sempre lo stesso angolo n/2 con la geodetica ed appartengono in ogni 

 posizione a sup. tot. geod.): in questo spostamento il loro angolo, per una proprietà nota 

 del parallelismo, non varia. 



ds 2 = d 2 (x) \_dx* -f- dy* + G (?/ , z) d:*~\ ; 



