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superficie X\ = cosi hanno tutte la stessa curvatura geodetica {risp. a V 3 ) 



in tutti i loro punti (==-j — ^r) ; il quadrato di questa è la curvatura re- 

 \ dx\ 6 I 



lativa della superficie rispetto a V 3 (differenza fra la curvatura gaussiana 

 e la curvatura riemanniana secondo la stessa giacitura), cioè: le V 2 orto- 

 gonali alla congruenza sono a curvatura relativa costante. 



Di più: è costante la curvatura riemanniana della V 3 per tutte le 

 .giaciture tangenti alia congruenza e in tutti i punti ài una V 2 ad essa 

 ortogonale (poiché dipende soltanto da 0). 



Per caratterizzare fra le nostre V 3 quelle per le quali le V 2 normali 

 alla congruenza sono a curvatura gaussiana costante, possiamo servirci di un 

 teorema di Finsterwalder ( 1 ) : esse contengono, oltre alle due serie oo 1 di 

 sup. tot. geod. da cui siamo partiti, altre due serie oo 1 contenenti la con- 

 gruenza d'intersezione delle due prime, rappresentabili linearmente per mezzo 

 dei parametri i quali, uguagliati a zero, individuano le due serie date. 



Infine, se le due serie oo 1 date si tagliano ovunque sotto lo stesso an- 

 golo '<» (4= tt/2), le V 2 normali alla congruenza loro intersezione sono euclidee 

 e si ritrova il ds~ = 2 i {dx\ -f- dx\ -f- dx\) dato al n. 3 partendo da 

 un'altra proprietà. Queste V 3 si costruiscono in S 5 con equazioni parame- 

 triche del tipo \ 



//, == f(t) cos 6 // 3 — f(t) cos <fi 

 !h — f{t) sen * V*— f(t) sen 9> 



= t. 



6. Scritto il ds* di una V 3 del tipo esaminato nella forma ds 2 = 6 i {x ì ) ds\ , 

 si osserva che il ds\ è del tipo di Levi-Civita [contenente una congruenza 

 a parallelismo completo ( 2 )]; sicché: 



Ogni V 3 con due serie di sup. tot. geod. non ortogonali a congruenza 

 d'intersezione normale è rappresentabile in modo conforme sopra una Y 3 

 dello stesso tipo in cui però le superficie ortogonali alla congruenza sono 

 pure totalmente geodetiche, e la congruenza è a parallelismo completo 

 (la V 3 , se non è già euclidea, si costruisce in uno S 4 euclideo». 



Il modulo della rappresentazione ■ è costante sulle sup. ortog. alla con- 

 gruenza: sicché queste si corrispondono in modo isometrico-simile. 



( 1 ) Cfr. Jahresbericht d Deutsch. Mathem. Vereiiiigung, Bd. V, Leipzig 1899, 

 pp. 50-51. 



( 2 ) T. Levi-Civita, Mozione di parallelismo in una varietà qualunque, ecc. [Kend. 

 Circ. Mate m. di Palermo, tomo XLII, 1917,]. 



