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e le superficie sono nella relazione di una trasformazione T , come ivi è 

 stata definita. Perciò diciamo che le equazioni (9) definiscono una trasfor- 

 mazione T di C in d . Una tale trasformazione è determinata da un sistema 

 parallelo C e da una soluzione 6 del sistema (1). Dalle (10) si vede che 

 il trasformato radiale C[ di C , definito dalle 



(14) *i=4> 



è parallelo a d . e che 0~ l = — 4 • = ttt > sono le corrispondenti so- 

 ft 



luzioni delle equazioni per C, e CI . Inoltre le formule 



ft- 1 . 



x 



definiscono C come un trasformato T di Ci . 



Se Ci e C 2 sono trasformati T di C , per mezzo dei sistemi C e C" 

 paralleli a C e delle soluzioni 0, , tì 2 delle (1) , e con $i , &2 ; d'i , 6 2 in- 

 dichiamo le soluzioni corrispondenti per le equazioni relative a C e C" , 

 allora il sistema C 12 , definito dalle equazioni della forma 



61' 



'12 X l Qt't 1 * 0' } 1 



tì fi" 

 u » u 1 tì' a'" n" 1 a' 



»1 01 



è un trasformato T di Ci , C 2 . Siccome d[ e 6" contengono costanti arbi- 

 trarie additive, esistono oo 18 di tali sistemi C 12 . 



4. La condizione necessaria e sufficiente perchè il sistema C colle equa- 

 zioni (1) sia ortogonale, che cioè si abbia 



y ^•Ji.^Ott+j^M, 3), 



— ~ÒUi Duj v J 



è che 0=2x* sia una soluzione delle (1). Un tale sistema si dirà un si- 

 stema . Se un sistema è , anche ogni suo parallelo è un sistema . 



Supponiamo di avere un sistema ed un suo parallelo 0' . Se nelle 

 (9) poniamo 6' — 2x'* e la corrispondente 6 data delle (8) , il sistema tra- 

 sformato C è uu sistema . Si vede facilmente che questa è la trasforma- 

 zione generalizzata di Rifjaucour trattata da Bianchi ( x ), e in particolare 

 i sistemi paralleli 0' e 0[ sono in relazione d'inversione, come segue dalle (14). 



5. Il Bianchi ( 2 ) ha dimostrato che ogni sistema triplo coniugato nello 

 spazio euclideo dà origine ad una infinità di spazi normali, pei quali le di- 

 rezioni principali sono tangenti alle curve parametriche. Quindi i risultati 

 precedenti conducono a trasformazioni degli spazi normali. 



(') Questi Rendiconti serie 5 a , voi. 34 (1915) p. 161. 

 ( 2 ) Annali, serie 3 a , voi. 23 (1914) p. 141. 



Rendiconti. 1921. Voi. XXX. 2° Sem. 52 



