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funzione H prese ordinatamente rispetto alla linea [p] e al punto £ e ri- 

 spetto alla linea [se] e al punto £. Nel sistema (2) le incognite sono le 

 due linee \_x~] e \_p] che si riguardano dipendent' dalla variabile s; in altri 

 termini le incognite sono le due funzioni ordinarie a due variabili 



9 (Ì ,*) = [>](£) e — □»](£). 



Propriamente il Volterra ha dimostrato come, conoscendo una soluzione V 

 della (1) contenente una linea arbitraria (e che perciò potrà chiamarsi un 

 integrale completo dell'equazione), sia possibile risolvere agevolmente il 

 sistema (2). 



È però facile vedere che anche la reciproca di questa proposizione è 

 vera, e cioè che se è possibile determinare una soluzione del sistemo (2) 

 della forma 



(3) M(£) = 5P(f,^M,M) • Mtf)-W,f,W,W), 



dove [a] e [è] sono due linee arbitrarie aventi il significato di valori 

 iniziali di [x] e \_p~\ per s uguale ad un certo s , e se inoltre la fun- 

 zione (f è tale che la prima delle (3) possa risolversi rispetto a [b~\: al- 

 lora la funzione 



(4) v(* , r>] , M) = f '' [«](?) [*](*) dì ■+ 



Ja 



+ £\Sa H '^ (? » { " ' M • M } * _ HU ' M ! [ ^ } ì * • 



neZ/a espressione devono pensarsi sostituiti alle linee [p] e \_b~\ i loro 

 valori tratti dalle (3), fornirà un integrale completo della (1). 



La dimostrazione è un'ovvia generalizzazione di quella che serve nella 

 teoria delle equazioni a derivate parziali per istabilire il primo metodo di 

 Jacobi i 1 ), e noi la ometteremo per brevità. 



3. In una sua Nota ( 2 ), il prof. Volterra ha risoluto l'equazione (1), 

 per mezzo di una serie di potenze di composizione, in un caso che corri- 

 sponde a quello di H funzione biliueare. cioè della forma 



H = P f 1 E( V , O] (rj) lp] (Ì) drj di . 



Ja Ja 



Noi ci proponiamo di mostrare come, avvalendosi invece del teorema enun- 

 ciato nel § precedente e della teoria delle equazioni integrali, sia possibile 



(*) Cfr. p. es. Goursat, Lecons sur Vìntégr. des éq. aux dérivées partielles du pre- 

 mier ordre (Paris, Hermann, 1891), pag, 136. 



( 2 ) Sulle equazioni alle derivate funzionali [Rendic. R. Acc. dei Lincei, serie 5 a , 

 voi. 23j (1° sem. 1914)]. 



