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risolvere l'equazione in discorso anche nel caso che H sia una funzione qua- 

 * dratica di tipo generale, cioè abbia la forma 



(5) H = A(*) + j^j B, ( V , ,) O] (rj) +B 2 ( V , s) (,) | dtj + J^J/ X 



x fafo , [aQfa) [>](£) + C 2 ft , f ) [afjfo) IpXO + % , t) MO?) Mtf) J ^ « 



dove A , B, , ... C 3 sono certe funzioni assegnate. 

 Nel caso in esame il sistema (2) diviene 



- B,(f , f ) + J * | C 2 ( rj , J) [a?] fo) + 2C 3 (^ ,?)[>] (,) J drj , 



|l£tìi!> = — B (!,*)— f*.'j 20,(1? , f) [>] fo) + Qfo , *) [p] (,) | <Z, ; 



(a < è), 



che, con un artificio perfettamente simile a quello che si adopera per risol- 

 vere i sistemi di equazioni integrali (*), e supponendo inoltre, per comodità, 

 a — ,# = yi pu° porsi sotto la forma dell'equazione integro-differenziale 



unica 



(7) jgiLi) = a( f 1 5) + r K(f j ^ ^ ^ ^ f ( o.< f.< i) , 



dove a e K sono funzioni note e la funzione incognita $>(}•, z) è uguale 

 ad [cc](f) per (0<£<y) ed uguale invece a [/>](£) per (|<£<.l). 



4. Per risolvere l'equazione integro-differenziale (7), al che è ora ridotta 

 tutta la questione, ci avvarremo del metodo che si ottiene con un passaggio 

 al limite per n -> oo da quello che si adopera per integrare un sistema 

 di n equazioni differenziali simultanee del tipo 



d<pi(z)/dz = tt[{s) + ku (fi{z) -4- k it fp t (g) + - + h* $Pn(*) , («' = 1, 2 , ... n) , 

 sistema di cui l'equazione (7) è il caso limite per n -» oo . Cerchiamo 

 dunque di soddisfare la (7) ponendo 



(S) f 1 f(, i )4>(r ] ,z)dr ) = e**—Q(2) 



dove f e q sono due funzioni e k una costante da determinarsi. 



Moltiplicando la (7) per f(£)dì;, integrando fra ed 1 e tenendo 

 conto della (8) si ha 



f 



*(? . *) { Al) - J j[ i)) /"(f) dfì ir, ■+ - 



1 * w -iJ"/W4M*-o, 



( x ) Cfr. p. es. Vivanti, Elementi della teoria delle equazioni integrali lineari (Mi- 

 lano, Hoepli, 1916), pag. 278. 



