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e perciò 



\a n u»{x)\<C AB Vadaci) (» + 1) y^j ; 



quindi la serie a ?< (^) + aiMi(cr) + ■•• converge uniformemente in qualunque 

 regione interna al cerchio di raggio q concentrico a C , e rappresenta evi- 

 dentemente la f{sc). 



5. Le serie di funzioni u presentano una grande analogia con le serie 

 di potenze e si riducono a queste ultime se a = . 



Dallo sviluppo di una funzione /(ce) si può ottenere subito quello della 

 sua derivata; ed infatti, se 



/(CC) = ]T a„ U n (x) , 

 n=0 



derivando termine a termine e tenendo conto della (7), troviamo 



oo i — — i 



= l[(» + i) «~. + (-ir ( ^ a) la_ a ,^ % J ■*•> • 



Dallo sviluppo di /(ce) si può ottenere quello di una sua funzione in- 

 tegrale F(cc): 



m - £ffi«. + (- ir s — = 3?H »»(*) ■ 



Così dalla (6) otteniamo 



cc m == v ( — iv i — 



n— o V ' (1 — OC) 



t)...(l — à n ) (n-\-m)l 



6. Quando è noto lo sviluppo di f{x), si ottiene quello della funzione 

 g[/(cc)J, dove JS è l'operazione funzionale definita al n. 1 , moltiplicando i 

 coefficienti di /(ce) ordinatamente per 1 , a , a* , 



Infatti 



I — ro — I - °° 00 



S ^_a n U„{x) U= y «„ S [«n(«)] = X «» *" M X ) ■ 



Viceversa, conosciuto lo sviluppo dì SC/W]) s i trova quello di /(ce) 

 dividendo i coefficienti del primo rispettivamente per 1 , a , a 2 , 



Così si ha un altro metodo per trovare lo sviluppo di e~ x . Essendo 

 8[e~*]==l, dalla (6) otteniamo subito la (9). 



Così ancora, essendo 



s 



e a — e-°° \ = e~ x , 



[_1 — a 1 — a 



1 _* a 



dalla (9) possiamo formare subito lo sviluppo di e a — ; e' 



1 — a 1 — a 



e perciò quello di e a . 



