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Si trova così 



~- V / 1» 1 — « + Mn (;r) 

 — / a"(l — a)... (1 -O »! 



7. Lo sviluppo di e * si può anche ottenere con un metodo generale 

 che permette di trovare lo sviluppo di quando è noto quello di f(x).. 



Si ha 



(10) u n {x) = ^ (u n {ux) + f u„(s) ds} = ^ (u n {ax) + ~T^ ) 

 e, cambiando a; in — , 



/ ce \ 1 / , v , u n +i(x) \ 



00 



e perciò, se f(x) = ^_ a n u H {x) , 



n=0 



Servendoci di questa formula ne possiamo ottenere un'altra che dà lo 

 sviluppo di f(ax). Se denotiamo con # , #i , è 2 , ... i coefficienti dello svi- 

 luppo di f(ax), si deve avere 



a = b 



a» = — n + n _t (n— 1,2,...) 



a n nce n 1 



e da questa si ricava 



K = -r [» ! a n — (» — 1) ! a„_i H h (— U" fl -o] ! 



cioè 



m„(o;) 



(11) f{ax) = J_a»[n\a n — (n — 1)U M _, H f-(_l)»a ] 



In particolare si ha 



M«) = »!Ì(-i)"«-(^. 



8. Applicando i risultati dei tre ultimi numeri, possiamo trovare Io- 

 sviluppo di x m e~ x con m intero e positivo. 

 Per m = 1 si ha 



g \x = — e~ ax + 1 ; 



